Uji Lanjut Duncan: Memahami dan Menerapkan dalam Pengujian Perbedaan

Duncan’s Multiple Range Test (Uji wilayah berganda Duncan)

Uji Duncan didasarkan pada sekumpulan nilai beda nyata yang ukurannya semakin besar, tergantung pada jarak di antara pangkat-pangkat dari dua nilai tengah yang dibandingkan.  Dapat digunakan untuk menguji perbedaan di antara semua pasangan perlakuan yang mungkin tanpa memperhatikan jumlah perlakuan.

Langkah perhitungan:

1. Urutkan nilai tengah perlakuan (biasanya urutan menaik)
   • Hitung wilayah nyata terpendek untuk wilayah dari berbagai nilai tengah dengan menggunakan formula berikut:
     $$\begin{matrix}R_p=r_{\alpha,p,\nu}s_{\bar{Y}}\\R_p=r_{\alpha,p,\nu}\sqrt{\frac{KTG}{r}}\\\end{matrix}$$
     di mana:
     • KTG         =      Kuadrat Tengah Galat
     • r              =      ulangan
     • r_a,p,n        =      nilai wilayah nyata Duncan
     • a             =      taraf nyata
     • p             =      jarak relatif antara perlakuan tertentu dengan peringkat berikutnya (2, 3, ..t);
     • n             =      derajat bebas galat;
2. Kriteria pengujian:
   • Bandingkan nilai mutlak selisih kedua rata-rata yang akan kita lihat perbedaannya dengan nilai wilayah nyata terpendek (R_p) dengan kriteria pengujian sebagai berikut:
     $ Jika\ \ \left|\mu_i-\mu_j\right|\ \ \left\langle\ \ \begin{matrix}>R_pTolak\ H_0(Berbeda\ \ nyata)\\\le R_pTerima\ H_0(tidak\ \ berbeda\ \ nyata)\\\end{matrix}\right.$

Pengertian peringkat (p) dalam pembandingan rata-rata dengan menggunakan uji jarak berganda (Multiple Range Test):

1. p = jarak relatif antara satu nilai rata-rata dengan rata-rata perlakuan pada peringkat berikutnya setelah rata-rata tersebut diurutkan, yang dihitung mulai dari nilai rata-rata tersebut (angka 1) sampai p rata-rata berikutnya.
2. Misal:
   • p = 2, berarti jarak dengan 1 nilai rata-rata peringkat berikutnya (perbandingan antara dua nilai rata-rata yang bertetangga), misalnya: 
     • jarak peringkat 1 dengan peringkat 2 (3Dok13 vs 3Dok4); atau
     • jarak peringkat 2  dengan peringkat 3 (3Dok4 vs Gabungan).
     • jarak peringkat 5  dengan peringkat 6 (3Dok5 vs 3Dok1), dst.
   • p = 3, berarti jarak dengan 2 nilai rata-rata peringkat berikutnya, misalnya:
     •  jarak peringkat 1 dengan peringkat 3 (3Dok13 vs Gabungan),
     • jarak peringkat 2 dengan peringkat 4 (3Dok4 vs 3Dok7),
     • jarak peringkat n dengan peringkat n + (p-1)
   • p = t, berarti jarak dengan (t-1) nilai rata-rata peringkat berikutnya, misal untuk contoh di atas:
     • p = 6 berarti perbandingan antara rata-rata perlakuan terkecil (3Dok13) dengan rata-rata perlakuan terbesar (3Dok1)

Contoh Penggunaan Uji Duncan

Terdapat berbagai cara dalam menyusun notasi huruf untuk menguji perbedaan di antara rata-rata perlakuan.  Hal ini tergantung dari algoritma atau logika masing-masing, namun intinya membandingkan selisih di antara rata-rata perlakuan dengan nilai pembanding yang sesuai.  Apabila nilai selisih mutlaknya lebih kecil atau sama dengan nilai pembanding, berarti kedua rata-rata tersebut tidak berbeda nyata.  Berbeda dengan penyusunan notasi pada penggunaan uji Tukey dan LSD yang hanya menggunakan satu nilai pembanding, kali ini kita akan menggunakan nilai selisih rata-rata perlakuan yang kemudian kita bandingkan dengan nilai pembanding yang sesuai.  Tahapan Lengkapnya adalah sebagai berikut: 

Sebagai gambaran, kita gunakan kembali data percobaan Red Clover.

1. Langkah 1: Hitung nilai wilayah nyata terpendek (R_p):
   • Tentukan nilai KTG dan derajat bebasnya yang diperoleh dari Tabel Analisis Ragam.
     • KTG = 11.7887
     • ν = db = 24
   • Tentukan nilai kritisnya dari tabel wilayah nyata student yang didasarkan pada derajat bebas galat dan banyaknya perlakuan yang akan dibandingkan. 
     • Ada tiga parameter yang dibutuhkan untuk menentukan nilai q_α, yaitu taraf nyata (α), p = banyaknya perlakuan yang akan dibandingkan, dan derajat bebas galat (db).  Pada contoh ini, p = 2, 3, 4, 5, 6, nilai db = 24 (lihat db galat pada tabel Analisis Ragamnya) dan α = 0.05. Selanjutnya, tentukan nilai r_{0.05(6, 24)}.
     • Untuk mencari nilai r_{0.05(6, 24)} kita dapat melihatnya pada tabel Significant Ranges for Duncan’s Multiple Range Test pada taraf nyata α = 0.05 dengan p = 6 dan derajat bebas (v) = 24.  Perhatikan gambar berikut untuk menentukan q-tabel.
       
     • Dari tabel tersebut kita dapatkan nilai r_a,p,n yaitu 2.92; 3.07; 3.15; 3.22; dan 3.28
   • Hitung wilayah nyata terpendek (R_p):
     
   • Kriteria pengujian:
     • Bandingkan nilai mutlak selisih kedua rata-rata yang akan kita lihat perbedaannya dengan nilai wilayah nyata terpendek (R_p) yang sesuai dengan kriteria pengujian sebagai berikut:
       $ Jika\ \ \left|\mu_i-\mu_j\right|\ \ \left\langle\ \ \begin{matrix}>R_pTolak\ H_0(Berbeda\ \ nyata)\\\le R_pTerima\ H_0(tidak\ \ berbeda\ \ nyata)\\\end{matrix}\right.$
2. Langkah 2: Urutkan nilai rata-rata perlakuan dari kecil ke besar atau sebaliknya. Pada contoh ini, rata-rata perlakuan diurutkan dari kecil ke besar.  Langkah selanjutnya adalah menghitung perbedaan di antara rata-rata perlakuan. 

Cara ke-1

Buat Tabel Matriks (Crosstabulasi) selisih rata-rata di antara semua kombinasi pasangan perlakuan.  Karena bersifat setangkup, cukup buat tabel matriks segitiga bawah saja seperti yang disajikan pada Tabel di bawah ini.

Tabel Matriks selisih rata-rata perlakuan

 Tabel Nilai pembanding (Rp)

Keterangan: 

1. Angka pada badan Tabel adalah nilai selisih di antara rataan perlakuan
2. Superscript (2); (3); …; (6) = p, yaitu jarak relatif (peringkat) antara rataan perlakuan yang satu dengan perlakuan lainnya
3. Bandingkan selisih rata-rata dengan pembanding yang sesuai dengan peringkatnya (Rp). Apabila lebih kecil dari nilai Rp (tn), berikan garis yang sama di sebelah kanannya.  Pemberian garis yang sama dihentikan apabila nilai selisih rata-rata > nilai Rp. Lanjutkan ke pembandingan perlakuan berikutnya.
   • Misalnya apabila kita membandingkan 3Dok13 dengan 3Dok4, bandingkan selisihnya (1.38) dengan peringkat Rp yang sesuai, Rp(2) = 4.50. Karena 1.38 ≤ 4.50 yang menunjukkan tidak ada perbedaan, maka kita berikan garis yang sama pada kedua rataan tersebut.
   • 3Dok13 vs Gabungan: Bandingkan selisihnya (5.44) dengan Rp(3) = 4.73. Karena 5.44 ≥ 4.73 (*); stop! Garis yang sama tidak diberikan lagi. Lanjutkan dengan pembandingan 3Dok4 vs lainnya.
   • 3Dok4 vs Gabungan. Bandingkan selisihnya (4.06) dengan Rp(2) = 4.50. Karena 4.06 ≤ 4.50 (tn) sehingga berikan garis yang sama pada kolom 3Dok4;
   • 3Dok4 vs 3Dok7: 5.28 ≥ 4.73 (*); stop! garis yang sama tidak diberikan lagi. Lanjutkan dengan pembandingan Gabungan vs lainnya. dst. sampai pada perbandingan pada kolom ke-9.
4. Abaikan (buang) Garis yang berwarna merah, karena garis tersebut sudah terwakili oleh garis yang terdapat pada Gabungan!
5. Terakhir, berikan kode huruf untuk garis tersebut.  Garis yang diberi notasi hanya garis yang berwarna hitam.  Garis hitam pertama diberi huruf "a", kedua huruf "b", ketiga huruf "c", keempat huruf "d", abaikan pemberian kode huruf pada garis merah (garis yang sudah terwakili oleh garis lainnya, dalam hal ini huruf "d"), terakhir garis ke-5 huruf "e".

Cara ke-2

1. Langkah Maju ke #1:

• Berikan huruf mutu "a" pada nilai rata-rata perlakuan terkecil pertama, yaitu 13.26.
• Bandingkan perbedaan antara 3Dok13 (13.26) dan perlakuan peringkat berikutnya dengan menggunakan nilai Rp yang sesuai.
• Berikan huruf yang sama (dalam hal ini "a") apabila selisihnya ≤ Rp yang sesuai
• p = 2: 3Dok13 vs 3Dok4: |13.26 – 14.64|= 1.38. Bandingkan nilai ini dengan Rp(2) = 4.50.  Karena 1.38 ≤ 4.50, yang berarti tidak berbeda, maka 3Dok4 diberi huruf "a" 
• p = 3: 3Dok13 vs Gabungan: |13.26 – 18.70| = 5.44. Bandingkan nilai ini dengan Rp(3) = 4.73.  Karena 5.44 > 4.73, yang berarti berbeda nyata, maka Gabungan diberi huruf yang berbeda, yaitu "b". 
• Pembandingan antara 3Dok13 dengan perlakuan selanjutnya tidak usah dilakukan karena pasti berbeda.  Dengan demikian, pada langkah maju, pembandingan selanjutnya untuk grup yang sama dihentikan apabila perlakuan berikutnya sudah diberikan notasi yang berbeda.

2. Langkah Mundur:

• Kita sudah memberikan huruf b pada perlakuan Gabungan, namun kita belum tahu apakah gabungan berbeda dengan perlakuan lain yang terletak di antara 3Dok13 ("a") dan Gabungan ("b")!  Dalam contoh ini hanya satu perlakuan, yaitu 3Dok4.  Cara yang lebih praktis adalah dengan pengecekan langkah mundur, yaitu membandingkan Gabungan dengan perlakuan sebelumnya yang nilainya lebih kecil dari Gabungan namun lebih besar dari 3Dok13.
• p = 2: Gabungan vs 3Dok4: |18.70 – 14.64| = 4.06. Bandingkan nilai ini dengan Rp(2) = 4.50.  Karena 4.06 ≤ 4.50, yang berarti tidak berbeda, maka 3Dok4 selain tadi sudah diberi huruf "a", juga diberi huruf "b" karena tidak berbeda dengan gabungan. 

3. Langkah Maju ke #2:

• Titik awal sekarang mulai dari perlakuan terkecil yang mendapatkan huruf "b", dalam hal ini pada perlakuan 3Dok4 (14.64).
• Bandingkan perbedaan antara 3Dok4 (14.64) dan perlakuan peringkat berikutnya yang belum diberi notasi huruf yaitu 3Dok7 dst. dengan menggunakan nilai Rp yang sesuai.   Dengan demikian, p = 2: 3Dok4 vs Gabungan: tidak perlu dilakukan! karena sebelumnya sudah diberi notasi "b"!
• Berikan huruf yang sama (dalam hal ini "b") apabila selisihnya ≤ Rp yang sesuai
• p = 3: 3Dok4 vs 3Dok7: |14.64 – 19.92| = 5.28. Bandingkan nilai ini dengan Rp(3) = 4.73.  Karena 5.28 > 4.73, yang berarti berbeda nyata, maka 3Dok4 diberi huruf yang berbeda, yaitu "c".  Pembandingan antara 3Dok4 dengan perlakuan selanjutnya tidak usah dilakukan karena pasti berbeda.

4. Langkah Mundur:

• Kita sudah memberikan huruf c pada perlakuan 3Dok7, namun kita belum tahu apakah 3Dok7 berbeda dengan perlakuan sebelumnya yang nilainya terletak di antara 3Dok7 dan 3Dok4!  Dalam contoh ini hanya Gabungan. 
• p = 2: 3Dok7 vs Gabungan: |19.92 – 18.70| = 1.22. Bandingkan nilai ini dengan Rp(2) = 4.50.  Karena 1.22 ≤ 4.50, yang berarti tidak berbeda, maka Gabungan selain tadi sudah diberi huruf "b", juga diberi huruf "c" karena tidak berbeda dengan 3Dok7. 

5. Langkah Maju ke #3:

• Titik awal sekarang mulai dari perlakuan terkecil yang mendapatkan huruf "c", dalam hal ini pada perlakuan Gabungan (18.70).
• Bandingkan perbedaan antara Gabungan (18.70) dan perlakuan peringkat berikutnya yang belum diberi notasi huruf yaitu 3Dok5 dst. dengan menggunakan nilai Rp yang sesuai. Dengan demikian p = 2: Gabungan vs 3Dok7 tidak perlu dilakukan lagi!
• Berikan huruf yang sama (dalam hal ini "c") apabila selisihnya ≤ Rp yang sesuai
• p = 3: Gabungan vs 3Dok5: |18.70 – 23.98| = 5.28. Bandingkan nilai ini dengan Rp(3) = 4.73.  Karena 5.28 > 4.73, yang berarti berbeda nyata, maka 3Dok5 diberi huruf yang berbeda, yaitu "d".  Pembandingan antara Gabungan dengan perlakuan selanjutnya tidak usah dilakukan karena pasti berbeda.

6. Langkah Mundur:

• Sekarang kita bandingkan perlakuan 3Dok5 dengan perlakuan sebelumnya yang terletak antara 3Dok5 dan Gabungan.
• p = 2: 3Dok5 vs 3Dok7: |23.98 – 19.92| = 4.06 Bandingkan nilai ini dengan Rp(2) = 4.50.  Karena 4.06 ≤ 4.50, yang berarti tidak berbeda, maka 3Dok5 selain tadi sudah diberi huruf "c", juga diberi huruf "c" karena tidak berbeda dengan 3Dok5.

7. Langkah Maju ke #4:

• Titik awal sekarang mulai dari perlakuan terkecil yang mendapatkan huruf "d", dalam hal ini pada perlakuan 3Dok7 (19.92).
• p = 2: 3Dok7 vs 3Dok5. Sudah!
• p = 3: 3Dok7 vs 3Dok1: |19.92 – 28.82| = 8.90. Bandingkan nilai ini dengan Rp(3) = 4.73.  Karena 8.9 > 4.73, yang berarti berbeda nyata, maka 3Dok1 diberi huruf yang berbeda, yaitu "e".

8. Langkah Mundur:

• Terakhir kita cek kembali apakah perlakuan 3Dok1 berbeda dengan perlakuan sebelumnya yang terletak antara 3Dok1 dan 3Dok7, yaitu dengan 3Dok5.
• p = 2: 3Dok1 vs 3Dok5: |28.82 – 23.98| = 4.84.  Bandingkan nilai ini dengan Rp(2) = 4.50.  Karena 4.84 > 4.50, yang berarti berbeda, maka 3Dok5 tidak diberi huruf "e".

Hasil akhirnya adalah sebagai berikut:

Apabila kita sudah terbiasa, prosedur penyusunan notasi huruf di atas sebenarnya bisa diringkas dalam bentuk pengelompokan pada kolom yang sama untuk nilai rata-rata yang tidak berbeda nyata, seperti pada contoh tabel berikut:

Keterangan:

↓ Pembandingan dengan peringkat berikutnya (langkah maju)

→ pemberian notasi baru (pindah pada kolom berikutnya)

↑ Pembandingan dengan peringkat sebelumnya (langkah mundur)

Perhitungan dengan meggunakan SmartstatXL Excel Add-In

Tabel Uji Lanjut