Uji Lanjut Fisher's LSD: Memahami dan Menerapkan Uji BNT

Fisher’s LSD =BNT (Beda Nyata Terkecil)

Uji BNT merupakan prosedur pengujian perbedaan di antara rata-rata perlakuan yang paling sederhana dan paling umum digunakan.  Metode ini diperkenalkan oleh Fisher (1935), sehingga dikenal pula dengan Metode Fisher’s LSD [Least Significant Difference].  Untuk menggunakan uji BNT, atribut yang kita perlukan adalah nilai kuadrat tengah galat (KTG),   taraf nyata,  derajat bebas (db) galat, dan tabel t-student untuk menentukan nilai kritis uji perbandingan.

Dalam penggunaan uji ini, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan:

1. Gunakan uji LSD apabila uji F dalam Analisis Ragam signifikan
2. Prosedur LSD akan mempertahankan taraf nyata ≤ 0.05 hanya jika pembandingan semua kombinasi pasangan nilaitengah perlakuan ≤ 3 perlakuan
3. Gunakan uji LSD untuk pembandingan terencana tanpa memperhatikan banyaknya perlakuan.  Misalnya apabila kita ingin membandingkan semua rata-rata perlakuan dengan kontrol, uji LSD dapat digunakan meskipun lebih dari 3 perlakuan.

Formula untuk menghitung nilai LSD adalah sebagai berikut:

$$\begin{matrix}LSD=t_{\alpha/2,dfe}.s_{\bar{Y}};di mana\ s_{\bar{Y}}=\sqrt{\frac{2KTG}{r}}\ \\Apabila\ jumlah\ ulangan\ tidak\ sama:\\LSD=t_{\alpha/2,dfe}\sqrt{KTG(\frac{1}{r_i}+\frac{1}{r_j})}\ \\\end{matrix}$$

di mana r adalah jumlah banyaknya ulangan, KTG = Kuadrat Tengah Galat yang diperoleh dari analisis ragam, α = taraf nyata, dfe = derajat bebas galat.  Nilai t adalah nilai yang diperoleh dari tabel t-student pada taraf nyata α dengan derajat bebas = dfe (Pada tabel t-student biasanya telah ditentukan untuk pengujian dua arah, jadi α dalam tabel sebenarnya nilai α/2). 

Dalam uji LSD, untuk menilai apakah dua nilai rata-rata perlakuan berbeda secara statistik, maka kita bandingkan nilai LSD yang telah dihitung dengan selisih mutlak kedua rata-rata tersebut.  Apabila selisihnya lebih besar dibandingkan dengan nilai LSD, maka dikatakan kedua rata-rata tersebut berbeda nyata pada taraf α.  Secara matematis, pernyataan tersebut bisa diringkas:

Uji LSD menyatakan m_i dan m_j berbeda pada taraf nyata a jika: | m_i - m_j | > LSD

Fisher’s Protected t Tests: Tingkat Kesalahan Tipe I Experimentwise (a_EW)

1. Kondisi terproteksi:
   • Ho seluruhnya benar                                : m₁ = m₂ = … = m_k
   • Atau hanya satu dari H₀ yang benar          : m₁ = m₂ ≠ m₃
2. Kondisi tidak terproteksi:
   • Sebagian H₀ benar:
     $\begin{matrix}\mu_1=\mu_2=\mu_3\neq\mu_4\\\mu_1=\mu_2\neq\mu_3=\mu_4\\\mu_1\neq\mu_2=\mu_3=\mu_4\\\end{matrix}$
3. Dalam hal ini, jika menguji lebih dari satu H0 maka kesalahan Type I (a_EW) akan meningkat sangat cepat dengan meningkatnya jumlah perlakuan
4. Nilai kesalahan Type I dihitung berdasarkan formula:
   $\alpha_{EW}=1-(1-\alpha)^j\ dengan\ j=\frac{t(t-1)}{2}$

Prosedur Perhitungan:

Sebagai gambaran penggunaan uji LSD, misalkan terdapat Hasil Perhitungan Analisis Ragam beserta Tabel Rata-rata perlakuannya seperti yang disajikan pada Tabel berikut: 

Tabel Analisis Varians Kandungan Nitrogen

Tabel Rata-rata Kandungan Nitrogen

Pembandingan Terencana

Di sini terdapat 6 perlakuan yang akan kita bandingkan, sehingga tidak tepat apabila uji LSD digunakan untuk membandingkan semua pasangan kombinasi perlakuan (pair wise comparisons).  Namun apabila kita ingin membandingkan semua rata-rata perlakuan dengan kontrol (pembandingan terencana), uji LSD dapat digunakan meskipun lebih dari 3 perlakuan.  Pada kasus ini, Gabungan dijadikan sebagai kontrol (pembanding) sehingga semua rata-rata perlakuan hanya dibandingkan dengan kontrol.

1. Hitung nilai LSD:
   • Tentukan nilai KTG dan derajat bebasnya yang diperoleh dari Tabel Analisis Ragam.
     • KTG = 11.7887
     • db = 24
   • Tentukan nilai t-student. 
     • Ada dua parameter yang dibutuhkan untuk menentukan nilai t-student, yaitu taraf nyata (α) dan derajat bebas galat (db).  Pada contoh ini, nilai db = 24 (lihat db galat pada tabel Analisis Ragamnya) dan α = 0.05. Selanjutnya, tentukan nilai t_{(0.05/2, 24)}.
     • Untuk mencari nilai t_{(0.05/2, 24)} kita dapat melihatnya pada tabel Sebaran t-student pada taraf nyata 0.05 dengan derajat bebas 24.  Perhatikan gambar berikut untuk menentukan t-tabel.
       
     • Dari tabel tersebut kita dapatkan nilai nilai t_{(0.05/2, 24)} = 2.064
   • Hitung nilai LSD dengan menggunakan formula berikut:
     $\begin{matrix}LSD=t_{0.05/2;24}\sqrt{\frac{2KTG}{r}}\\=2.064\times\sqrt{\frac{2(11.79)}{5}}\\=4.482\ \ mg\\\end{matrix}$
2. Kriteria pengujian:
   • Bandingkan nilai mutlak selisih kedua rata-rata yang akan kita lihat perbedaannya dengan nilai LSD dengan kriteria pengujian sebagai berikut:
     $ Jika\ \ \left|\mu_i-\mu_j\right|\ \ \left\langle\ \ \begin{matrix}>4.48Tolak\ H_0(Berbeda\ \ nyata)\\\le 4.48Terima\ H_0(tidak\ \ berbeda\ \ nyata)\\\end{matrix}\right.$

Pada kasus ini, kita hanya membandingkan selisih antara kontrol (Gabungan) dengan rata-rata perlakuan lainnya.

Keterangan:

*=berbeda nyata; tn = tidak nyata

berikan notasi huruf "a" jika tidak berbeda nyata dengan gabungan dan berikan huruf "b" apabila berbeda nyata

Perlakuan 3Dok13, 3Dok5, dan 3Dok1 berbeda dengan Gabungan.

Pembandingan berpasangan

Meskipun kita tidak tepat menggunakan uji LSD untuk membandingkan semua kombinasi pasangan perlakuan apabila banyaknya perlakuan > 3, namun sebagai gambaran dalam penggunaan uji LSD, di sini akan diuraikan prosedur untuk membandingkan semua pasangan kombinasi rataan perlakuan.  Sebagai pembanding, di sini akan digunakan kembali tabel Analisis Ragam dan Tabel rata-rata perlakuan yang sama seperti pada kasus penggunaan uji LSD terencana di atas.

1. Hitung nilai LSD:
   • Dari pembahasan sebelumnya, kita sudah mendapatkan nilai LSD yaitu 4.482 mg.
2. Kriteria pengujian:
   • Bandingkan nilai mutlak selisih kedua rata-rata yang akan kita lihat perbedaannya dengan nilai LSD dengan kriteria pengujian sebagai berikut:
     $ Jika\ \ \left|\mu_i-\mu_j\right|\ \ \left\langle\ \ \begin{matrix}>4.48Tolak\ H_0(Berbeda\ \ nyata)\\\le 4.48Terima\ H_0(tidak\ \ berbeda\ \ nyata)\\\end{matrix}\right.$

Keterangan: *=berbeda nyata

Cara lain dalam penyajian pembandingan semua pasangan kombinasi rata-rata perlakuan yang lebih sederhana dan lebih informatif adalah dengan menggunakan notasi huruf sebagai pembeda.  Terdapat beberapa cara dalam pemberian notasi huruf sebagai pembeda rata-rata perlakuan. Semuanya mempunyai logika/prinsip dasar yang sama, yaitu membandingkan antara selisih rata-rata perlakuan dengan nilai pembandingnya.  Di sini hanya dijelaskan 2 cara dalam pemberian notasi huruf tersebut.

Cara ke-1

Buat Matriks (Crosstabulasi) selisih rata-rata di antara semua kombinasi pasangan perlakuan.  Karena bersifat setangkup, cukup buat tabel matriks segitiga bawah saja.

Tahapan Membuat tabel matriks selisih rata-rata:

Langkah 1: Urutkan nilai rata-rata perlakuan dari kecil ke besar atau sebaliknya. Pada contoh ini, rata-rata perlakuan diurutkan dari kecil ke besar

Langkah 2: Buat Form Matriks tabel dwi arah (crosstabulasi) seperti pada contoh berikut:

Langkah 3: Isi badan tabel yang terdapat pada kotak berwarna merah dengan selisih rata-rata perlakuan.

 Langkah 4: Hasil lengkapnya sebagai berikut:

Langkah 5.  Bandingkan selisih rata-rata perlakuan yang terdapat pada badan tabel (diberi border warna merah) dengan nilai pembandingnya, dalam hal ini nilai LSD.  Beri kode "tn" apabila nilai selisih rata-ratanya lebih kecil atau sama dengan nilai LSD, dan beri kode "*" apabila lebih besar dibandingkan dengan nilai LSD.  Selanjutnya berikan garis yang sama untuk perlakuan yang tidak berbeda nyata dan terakhir beri notasi huruf. Tahapan Lengkapnya bisa dilihat pada keterangan tabel.

Keterangan: 

1. Angka pada badan Tabel adalah nilai selisih di antara rataan perlakuan
2. Bandingkan selisih rata-rata dengan nilai LSD (4.48).  Berikan kode "tn" apabila nilai selisih rata-ratanya lebih kecil atau sama dengan nilai LSD, dan berikan simbol "*"apabila nilai selisih rata-ratanya lebih besar dari nilai LSD
3. Pada setiap kolom (mulai dari kolom ke-4) tarik/berikan garis yang sama dimulai dari angka 0. Lanjutkan penarikan garis pada kolom yang sama pada nilai selisih rata-rata yang diberi simbol "tn" dan berakhir apabila di bawahnya sudah ada simbol "*".  Lanjutkan pembandingan perlakuan pada kolom berikutnya.  Tahapan detailnya sebagai berikut:
   • Pada setiap kolom (dalam contoh ini, kolom 4 sd 9) bandingkan selisih rata-ratanya dengan nilai LSD, apabila lebih kecil dari nilai LSD (tn), berikan/tarik garis yang sama di sebelah kanannya.  Pemberian garis yang sama dihentikan apabila nilai selisih rata-rata > nilai LSD (menemukan tanda "*").
   • 3Dok13 vs perlakuan lainnya (perbandingan pada kolom ke-4)
     • Misalnya apabila kita membandingkan 3Dok13 dengan 3Dok4, bandingkan selisihnya (1.38) dengan nilai LSD = 4.50. Karena 1.38 ≤ 4.48 yang menunjukkan tidak ada perbedaan, maka kita berikan garis yang sama pada kedua rataan tersebut.
     • 3Dok13 vs Gabungan: Bandingkan selisihnya (5.44) dengan LSD = 4.48. Karena 5.44 > 4.48 (*), stop! Garis yang sama tidak diberikan lagi. Lanjutkan pembandingan perlakuan pada kolom berikutnya, dalam hal ini kolom ke-5 yaitu pembandingan 3Dok4 vs lainnya.
   • 3Dok4 vs perlakuan lainnya (perbandingan pada kolom ke-5).
     • 3Dok4 vs Gabungan. Bandingkan selisihnya (4.06) dengan LSD = 4.48. Karena 4.06 ≤ 4.48 (tn) sehingga berikan garis yang sama pada kolom 3Dok4;
     • 3Dok4 vs 3Dok7: 5.28 > 4.48 (*); stop! garis yang sama tidak diberikan lagi. Lanjutkan dengan pembandingan pada kolom berikutnya, kolom ke-6 yaitu perlakuan Gabungan vs lainnya. dst. sampai pada perbandingan pada kolom ke-9.
4. Abaikan (buang) Garis yang berwarna merah, karena garis tersebut sudah terwakili oleh garis pada perbandingan sebelumnya!
5. Terakhir, berikan kode huruf untuk garis tersebut.  Garis yang diberi notasi hanya garis yang berwarna hitam.  Garis hitam pertama diberi huruf "a", kedua huruf "b", ketiga huruf "c", dst.… abaikan pemberian kode huruf pada garis merah (garis yang sudah terwakili oleh garis lainnya).

Cara ke-2

Cara lainnya dalam memberikan notasi huruf sebagai pembeda pada penyajian pembandingan semua pasangan kombinasi rata-rata perlakuan adalah seperti pada langkah berikut ini.

1. Hitung nilai LSD (pada perhitungan sebelumnya, LSD = 4.482 mg)
2. Urutkan nilai rata-rata perlakuan dari kecil ke besar atau sebaliknya. Pada contoh ini, rata-rata perlakuan diurutkan dari kecil ke besar
3. Langkah selanjutnya adalah menghitung perbedaan di antara rata-rata perlakuan untuk menentukan rata-rata perlakuan mana yang sama dan mana yang berbeda.  Langkah selanjutnya adalah menentukan huruf pada nilai rata-rata tersebut.  Cara menentukan huruf ini agak sedikit rumit, namun apabila kita sudah terbiasa, hal tersebut bukan masalah lagi.  Pada prinsipnya, pengerjaan dilakukan secara berulang-ulang (iterasi) antara langkah maju (pemberian notasi huruf baru) dan langkah mundur (untuk memeriksa kembali apakah ada rata-rata perlakuan pada urutan sebelumnya yang mempunyai notasi sama dengan notasi baru tersebut).

Tahapan Lengkapnya adalah sebagai berikut: 

1. Langkah Maju ke #1:

• Berikan huruf mutu "a" pada nilai rata-rata perlakuan terkecil pertama, yaitu 13.26.
• tambahkan nilai 13.26 dengan nilai LSD: 13.26 + 4.482 = 17.742. 
• berikan huruf yang sama untuk nilai rata-rata perlakuan yang kurang dari atau sama dengan nilai 17.742.

• Tampak bahwa 3Dok13 (13.26) tidak berbeda dengan 3Dok4 (14.64), karena 14.64 ≤ 17.742, sedangkan 3Dok13 (13.26) sudah berbeda dengan Gabungan karena 18.70 > 17.742!
• Karena Perlakuan Gabungan berbeda dengan 3Dok13, maka berikan huruf "b" pada nilai rata-rata perlakuan tersebut.

2. Langkah Mundur:

• Kita sudah memberikan huruf b pada perlakuan Gabungan, namun kita belum tahu apakah gabungan berbeda dengan perlakuan lain yang terletak di antara 3Dok13 dan Gabungan!  Dalam contoh ini perlakuan antara 3Dok13 dan Gabungan hanya satu perlakuan, yaitu 3Dok4.  Cara yang lebih praktis adalah dengan Pengecekan langkah mundur, yaitu membandingkan Gabungan dengan perlakuan sebelumnya yang nilainya lebih kecil dari gabungan namun lebih besar dari 3Dok13.
• Kurangkan nilai rata-rata Gabungan dengan nilai LSD: 18.70-4.482 = 14.218
• Berikan huruf ‘b" pada nilai rata-rata perlakuan yang nilainya ≥ 14.218.
• Dalam hal ini, ternyata perlakuan 3Dok4 (14.64) nilainya ≥ 14.218, sehingga selain tadi sudah diberi kode huruf "a", juga diberi huruf "b" karena tidak berbeda dengan Gabungan.

3. Langkah Maju ke #2:

• Titik awal sekarang mulai dari perlakuan terkecil yang mendapatkan huruf "b", dalam hal ini pada perlakuan 3Dok4 (14.64).
• tambahkan nilai rata-rata perlakuan 3Dok4 (14.64) dengan nilai LSD: 14.64 + 4.482 = 19.912. 
• berikan huruf yang sama (dalam hal ini "b") untuk nilai rata-rata perlakuan yang kurang dari atau sama dengan nilai 19.912.  Kebetulan pada kasus ini, huruf "b" hanya sampai perlakuan Gabungan yang sebelumnya sudah mendapatkan huruf "b". Hasilnya masih sama seperti sebelumnya.

• Tampak bahwa 3Dok7 (19.92) berbeda dengan 3Dok4 karena 19.92 > 19.912.
• Karena berbeda, maka berikan huruf "c" pada nilai rata-rata perlakuan 3Dok7 (19.92) tersebut.

4. Langkah Mundur:

• Kurangkan nilai rata-rata 3Dok7 (19.92) dengan nilai LSD: 19.92-4.482 = 15.438
• Berikan huruf ‘c" pada nilai rata-rata perlakuan yang nilainya ≥ 15.438.
• Dalam hal ini, ternyata perlakuan Gabungan (18.70) nilainya ≥ 15.438, sehingga selain tadi sudah diberi kode huruf "b", juga mendapatkan huruf "c" karena tidak berbeda dengan 3Dok7.

5. Langkah Maju ke #3:

• Titik awal sekarang mulai dari perlakuan terkecil yang mendapatkan huruf "c", dalam hal ini pada perlakuan Gabungan (18.70).
• tambahkan nilai rata-rata perlakuan Gabungan (18.70) dengan nilai LSD: 18.70 + 4.482 = 23.182. 
• berikan huruf yang sama (dalam hal ini "c") untuk nilai rata-rata perlakuan yang kurang dari atau sama dengan nilai 23.182.  Kebetulan juga pada kasus ini, huruf "c" hanya sampai perlakuan 3Dok7 (19.92) yang sebelumnya sudah mendapatkan huruf "c". Hasilnya masih sama seperti sebelumnya.

• Tampak bahwa 3Dok5 (23.98) berbeda dengan Gabungan karena 23.98 > 23.182.
• Karena berbeda, maka berikan huruf "d" pada nilai rata-rata perlakuan 3Dok5 (23.98) tersebut.

6. Langkah Mundur:

• Kurangkan nilai rata-rata 3Dok5 (23.98) dengan nilai LSD: 23.98-4.482 = 19.498
• Berikan huruf ‘d" pada nilai rata-rata perlakuan yang nilainya ≥ 19.498.
• Dalam hal ini, ternyata perlakuan 3Dok7 (19.92) nilainya ≥ 19.498, sehingga selain tadi sudah diberi kode huruf "c", juga mendapatkan huruf "d" karena tidak berbeda dengan 3Dok5. 

7. Langkah Maju ke #4:

• Titik awal sekarang mulai dari perlakuan terkecil yang mendapatkan huruf "d", dalam hal ini pada perlakuan 3Dok7 (19.92).
• tambahkan nilai rata-rata perlakuan 3Dok7 (19.92) dengan nilai LSD: 19.92 + 4.482 = 24.402. 
• berikan huruf yang sama (dalam hal ini "d") untuk nilai rata-rata perlakuan yang kurang dari atau sama dengan nilai 24.402.  Kebetulan juga pada kasus ini, huruf "d" hanya sampai perlakuan 3Dok5 (23.98) yang sebelumnya sudah mendapatkan huruf "d" sehingga hasilnya masih sama seperti sebelumnya.
• Tampak bahwa 3Dok1 (28.82) berbeda dengan 3Dok7 (19.92) karena 28.82 > 24.402.
• Karena berbeda, maka berikan huruf "e" pada nilai rata-rata perlakuan 3Dok1 (28.82) tersebut.

8. Langkah Mundur:

• Kurangkan nilai rata-rata 3Dok1 (28.82) dengan nilai LSD: 28.82-4.482 = 24.338
• Berikan huruf "e" pada nilai rata-rata perlakuan yang nilainya ≥ 24.338.
• Dalam hal ini, ternyata tidak ada perlakuan lain lagi yang nilainya ≥ 24.338, sehingga hanya 3Dok1 yang mendapatkan huruf "e".

Penetapan notasi secara manual memang sedikit rumit bukan? Kita harus mengerjakan beberapa tahap yang dilakukan secara berulang-ulang antara langkah maju dan mundur.   Banyak tahapan berbeda-beda tergantung banyaknya rata-rata perlakuan yang akan kita bandingkan serta penyebaran keragaman perbedaan di antara rata-rata perlakuan.  Pada kasus ini ada 4 langkah maju sehingga pemberian notasi pun sampai huruf ke-5 yaitu "e".  Apabila hanya 1 tahap, maka pemberian notasi hanya sampai huruf "b".  Secara umum: 

Banyaknya langkah maju  = tahapan pemberian notasi – 1.

Dengan pesatnya kemajuan teknologi komputasi, masalah di atas tidak lagi menjadi masalah.  Banyak software statistik yang sudah memberikan notasi atau menggrupkan nilai rata-rata yang tidak berbeda pada grup yang sama.  Misalnya, SPSS dan SAS sudah otomatis memberikan notasi huruf apabila kita melakukan uji lanjut (post hoc) dan Statistica menggrupkan nilai rata-rata yang tidak berbeda pada grup (kolom) yang sama yang analoginya sama dengan pemberian notasi huruf atau dengan cara pemberian garis.  Perhatikan kembali Tabel di atas, terdapat 5 kelompok/grup/kolom.  Kolom pertama analog dengan huruf "a", ke-2 analog dengan huruf "b" dst.  Apabila nilai rata-rata ditandai pada dua kolom (misal perlakuan 3Dok4 pada kasus di atas) berarti dia diberi dua huruf atau 2 garis!   

Apabila kita sudah terbiasa, prosedur penyusunan notasi huruf di atas sebenarnya bisa diringkas dalam bentuk pengelompokan pada kolom yang sama untuk nilai rata-rata yang tidak berbeda nyata, seperti pada contoh tabel berikut:

Keterangan:

↓ Pembandingan dengan nilai rata-rata berikutnya (langkah maju)

→ pemberian notasi baru (pindah pada kolom berikutnya)

↑ Pembandingan dengan nilai rata-rata sebelumnya (langkah mundur)

Perhitungan dengan menggunakan SmartstatXL Excel Add-In

Tabel Uji Lanjut