Contoh Rak Faktorial: Soal dan Pembahasan

Contoh 1: RAK Faktorial (Interaksi tidak nyata)

Diberikan data sebagai berikut:

Perhitungan Analisis Ragam:

$$ FK=\frac{Y...^2}{abr}=\frac{(400)^2}{2\times2\times4}=10000$$

$$\begin{matrix}JKT=\sum_{i,j,k}{Y_{ijk}}^2-FK\\=(12)^2+(15)^2+...+(37)^2-10000\\=1170\\\end{matrix}$$

$$\begin{matrix}JKR=\frac{\sum_{k}{(r_k)^2}}{ab}-FK\\=\frac{(92)^2+(99)^2+(108)^2+(101)^2}{2\times2}-10000\\=32.5\\\end{matrix}$$

Buat Tabel Untuk Total Perlakuan

$$\begin{matrix}JKA=\frac{\sum_{i}{(a_i)^2}}{rb}-FK\\=\frac{(139)^2+(261)^2}{4\times2}-10000\\=930.25\\\end{matrix}$$

$$\begin{matrix}JKB=\frac{\sum_{j}{(b_j)^2}}{ra}-FK\\=\frac{(173)^2+(227)^2}{4\times2}-10000\\=182.25\\\end{matrix}$$

$$\begin{matrix}JK(AB)=\frac{\sum_{i,j}{(a_ib_j)^2}}{r}-FK-JKA-JKB\\=\frac{(54)^2+(85)^2+(119)^2+(142)^2}{4}-10000-930.25-182.25\\=4\\\end{matrix}$$

Catatan: JKP = JKA + JKB + JK(AB)

$$\begin{matrix}JKG=\ JKT\ -\ JKK\ -\ JKA\ -\ JKB\ -JK(AB)\\=1170-32.5-930.25-182.25-4\\=21\\\end{matrix}$$

Tabel 27.  Analisis Ragam Rancangan Faktorial  Dua Faktor Dalam RAK

Post-Hoc

Berdasarkan analisis ragam, pengaruh interaksi antara Faktor A dan Faktor B tidak nyata, sedangkan kedua pengaruh utamanya nyata sehingga pengujian lanjut hanya dilakukan terhadap pengaruh utama dari kedua faktor yang kita cobakan.

Pada pengujian lanjut ini, perbedaan di antara pasangan rata-rata perlakuan dilakukan dengan menggunakan uji Duncan.

Contoh 2: RAK Faktorial (Interaksi tidak nyata)

Tabel 28. Percobaan Pengaruh Pengolahan Tanah dan Pupuk Organik terhadap Indeks Stabilitas Agregat.

Perhitungan Analisis Ragam:

Langkah 1: Hitung Faktor Koreksi

$$ FK=\frac{Y...^2}{abr}=\frac{(5864)^2}{3\times4\times3}=955180.44$$

Langkah 2: Hitung Jumlah Kuadrat Total

$$\begin{matrix}JKT=\sum_{i,j,k}{Y_{ijk}}^2-FK\\=(154)^2+(151)^2+...+(182)^2-955180.44\\=9821.56\\\end{matrix}$$

Langkah 3: Hitung Jumlah Kuadrat Kelompok

$$\begin{matrix}JKR=\frac{\sum_{k}{(r_k)^2}}{ab}-FK\\=\frac{(1975)^2+(1931)^2+(1958)^2}{3\times4}-955180.44\\=82.06\\\end{matrix}$$

Jumlah Kuadrat Perlakuan perlu diuraikan menjadi Jumlah Kuadrat komponen-komponennya. Buat Tabel seperti berikut:

Buat Tabel Untuk Total Perlakuan

Langkah 4: Hitung Jumlah Kuadrat Faktor A

$$\begin{matrix}JKA=\frac{\sum_{i}{(a_i)^2}}{rb}-FK\\=\frac{(2075)^2+(1890)^2+(1899)^2}{3\times4}-955180.4444\\=1813.39\\\end{matrix}$$

Langkah 5: Hitung Jumlah Kuadrat Faktor B

$$\begin{matrix}JKB=\frac{\sum_{j}{(b_j)^2}}{ra}-FK\\=\frac{(1317)^2+(1443)^2+(1482)^2+(1622)^2}{3\times3}-955180.44\\=5258.00\\\end{matrix}$$

Langkah 6: Hitung Jumlah Kuadrat Interaksi AB

$$\begin{matrix}JK(AB)=\frac{\sum_{i,j}{(a_ib_j)^2}}{r}-FK-JKA-JKB\\=\frac{(470)^2+(492)^2+...+(491)^2+(515)^2}{3}-955180.44-1813.39-5258.00\\=463.50\\\end{matrix}$$

Catatan: JKP = JKA + JKB + JK(AB)

Langkah 7: Hitung Jumlah Kuadrat Galat

$$\begin{matrix}JKG=\ JKT\ -\ JKK\ -\ JKA\ -\ JKB\ -JK(AB)\\=9821.56-82.06-1813.39-5258.00-463.50\\=2204.61\\\end{matrix}$$

Langkah 8: Buat Tabel Analisis Ragam berserta F-tabelnya.

Tabel 29.  Analisis Ragam Rancangan Faktorial  Dua Faktor Dalam Rancangan Acak Kelompok Lengkap

F_(0.05,2,22) =3.443

F_(0.01,2,22) = 5.719

F_(0.05,3,22) = 3.049

F_(0.01,3,22) = 4.817

F_(0.05,6,22) = 2.549

F_(0.01,6,22) = 3.758

Langkah 9: Buat Kesimpulan

Pengaruh Interaksi: tidak signifikan

Karena Fhitung (0.77) ≤ 2.549 maka kita gagal untuk menolak H₀: μ₁ = μ₂ = …. pada taraf kepercayaan 95%.  Hal ini berarti bahwa pada taraf kepercayaan 95%, tidak terdapat perbedaan pengaruh interaksi terhadap respons yang diamati.

Pengaruh Faktor A: signifikan

Karena Fhitung (9.05) > 3.443 maka kita menolak H₀: μ₁ = μ₂ = …. pada taraf kepercayaan 95%.  Hal ini berarti bahwa pada taraf kepercayaan 95%, ada satu atau lebih dari rata-rata perlakuan yang berbeda dengan yang lainnya.  Atau dengan kata lain dapat diambil keputusan tolak Ho, artinya terdapat perbedaan pengaruh Faktor A terhadap respons yang diamati.

Pengaruh Faktor B: signifikan

Karena Fhitung (9.05) > 3.443 maka kita menolak H₀: μ₁ = μ₂ = …. pada taraf kepercayaan 95%.  Hal ini berarti bahwa pada taraf kepercayaan 95%, ada satu atau lebih dari rata-rata perlakuan yang berbeda dengan yang lainnya.  Atau dengan kata lain dapat diambil keputusan tolak Ho, artinya terdapat perbedaan pengaruh Faktor B terhadap respons yang diamati.

Karena Interaksi tidak signifikan (nyata), maka kita lanjutkan ke pemeriksaan pengaruh utamanya. Kedua pengaruh utamanya signifikan, sehingga kita perlu mengusut lebih jauh perlakuan mana yang sama dan mana yang berbeda. Lakukan pengujian lanjut untuk membandingkan rata-rata perlakuan, baik perbedaan rata-rata perlakuan untuk Faktor A maupun Faktor B.

Post-Hoc

Berdasarkan analisis ragam, pengaruh interaksi antara Faktor A dan Faktor B tidak nyata, sedangkan kedua pengaruh utamanya nyata sehingga pengujian lanjut hanya dilakukan terhadap pengaruh utama dari kedua faktor yang kita cobakan.

Pada pengujian lanjut ini, perbedaan di antara pasangan rata-rata perlakuan dilakukan dengan menggunakan uji LSD.

Pengaruh Utama Faktor Pengolahan Tanah (A)

Hitung LSD dengan Formula berikut:

1. Hitung LSD dengan Formula berikut:
   $ LSD=t_{\alpha/2;db}\sqrt{\frac{2KTG}{rb}}$
   • KTG = 100.21
   • derajat bebas galat = 22
   • Kelompok (r) = 3; Taraf Faktor B (b) = 4
   • t_(α/2,22) = t_(α/2,22) = 2.074 (Lihat tabel t-student pada taraf nyata, α = 0.05, dan db = 22, atau apabila memakai fungsi yang ada di MS Excel, tulis formula "=tinv(0.05,22)"
     
     
   • Parameter di  atas masukkan ke dalam rumus:
     $\begin{matrix}LSD=t_{\alpha/2;db}\sqrt{\frac{2KTG}{rb}}\\=t_{0.05/2;22}\sqrt{\frac{2(100.21)}{3\times4}}\\=2.074\times4.087\\=8.475\\\end{matrix}$
2. Buat Tabel rata-rata perlakuan untuk Faktor A (pengaruh utama Faktor A), kemudian urutkan dari nilai kecil ke besar (urutan menaik).

Setelah diurutkan:

3. Bandingkan selisih rata-rata perlakuan dengan nilai LSD = 8.475.  Untuk mempermudah pengerjaan, buat tabel matriks selisih rata-rata seperti pada contoh berikut:

4. Setelah diberi notasi, kembalikan urutannya berdasarkan urutan perlakuan (bukan urutan rata-rata).  Hasil akhirnya adalah sebagai berikut:

Pengaruh Utama Faktor Pupuk Organik (B)

1. Hitung LSD dengan Formula berikut:
    $ LSD=t_{\alpha/2;db}\sqrt{\frac{2KTG}{ra}}$
   • KTG = 100.21
   • derajat bebas galat = 22
   • Kelompok (r) = 3; Taraf Faktor A (a) = 3
   • t_(α/2,22) = t_(α/2,22) = 2.074 (Lihat tabel t-student pada taraf nyata, α = 0.05, dan db = 22, atau apabila memakai fungsi yang ada di MS Excel, tulis formula "=tinv(0.05,22)"
     
     
   • Parameter di  atas masukkan ke dalam rumus:
     $\begin{matrix}LSD=t_{\alpha/2;db}\sqrt{\frac{2KTG}{ra}}\\=t_{0.05/2;22}\sqrt{\frac{2(100.21)}{3\times3}}\\=2.074\times4.719\\=9.787\\\end{matrix}$
2. Buat Tabel rata-rata perlakuan untuk Faktor B (pengaruh utama Faktor B), kemudian urutkan dari nilai kecil ke besar (urutan menaik).  Kebetulan pada contoh ini, nilai rata-rata perlakuan sudah terurut dari kecil ke besar.

3. Bandingkan selisih rata-rata perlakuan dengan nilai LSD = 9.787. Untuk mempermudah pengerjaan, buat tabel matriks selisih rata-rata seperti pada contoh berikut:

4. Setelah diberi notasi, kembalikan urutannya berdasarkan urutan perlakuan (bukan urutan rata-rata).  Kebetulan urutannya sudah sesuai dengan urutan perlakuan.  Hasil akhirnya adalah sebagai berikut:

Perhitungan dengan menggunakan SmartstatXL Excel Add-In

Tabel Anova

Tavel Uji Lanjut