Contoh Ral Faktorial: Soal dan Pembahasan

Contoh Penerapan

Percobaan : Ada 3 jenis material untuk pembuatan baterai  (A, B, C) dicobakan pada 3 temperatur (15^oF, 70^oF, 125^oF). Dari percobaan tersebut ingin diketahui apakah jenis material dan suhu mempengaruhi daya tahan baterai ? Apakah jenis material tertentu  cocok untuk suhu tertentu?  Dari percobaan tersebut diperoleh data daya tahan baterai  sebagai berikut :

Tabel 23.  Data Daya Tahan Baterai Dari 3 Jenis Material Pada Tiga Macam Temperatur

Penyelesaian:

Tabel Perlakuan:

Langkah 1: Hitung Faktor Koreksi

$$\begin{matrix}FK=\frac{Y...^2}{rab}=\frac{3799^2}{4\times3\times3}=400900.028\\\\\end{matrix}$$

Langkah 2: Hitung Jumlah Kuadrat Total

$$\begin{matrix}JKT=\sum_{i,j,k}{Y_{ijk}}^2-FK\\=(130^2+74^2+....+104^2+60^2)-400900.028\ \\=478547.000\\\end{matrix}$$

Langkah 3: Hitung Jumlah Kuadrat Perlakuan

$$\begin{matrix}JKA=\sum_{i}\frac{{Y_{i..}}^2}{rb}-FK\\=\frac{(998^2+1300^2+1501^2)}{4\times3}-400900.028\ \ \\=10683.722\\\end{matrix}$$

$$\begin{matrix}JKB=\sum_{j}\frac{{Y_{.j.}}^2}{ra}-FK\\=\frac{(1738^2+1291^2+770^2)}{4\times3}-400900.028\ \ \\=39118.722\\\end{matrix}$$

$$\begin{matrix}JK(AB)=\sum_{i,j}\frac{{Y_{ij.}}^2}{r}-FK-JKA-JKB\\=\frac{(539^2+229^2+...+583^2+342^2)}{4}-400900.028-10683.722-39118.722\\=9613.778\\\end{matrix}$$

Langkah 4: Hitung Jumlah Kuadrat Galat

$$\begin{matrix}JKG=JKT-JKA-JKB-JK(AB)\\=18230.750\\\end{matrix}$$

Langkah 5: Buat Tabel Analisis Ragam beserta Nilai F-tabelnya

Tabel 24.  Analisis Ragam Daya Tahan Baterai

F_(0.05,2,27) = 3.354

F_(0.01,2,27) = 5.488

F_(0.05,4,27) = 2.728

F_(0.01,4,27) = 4.106

Langkah 6: Buat Kesimpulan

Material (A)

Karena Fhitung (7.91) > 3.354 maka kita tolak H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ pada taraf kepercayaan 95% (biasanya diberi satu buah tanda asterik (*), yang menunjukkan berbeda nyata)

Karena Fhitung (7.91) > 5.488 maka kita tolak H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ pada taraf kepercayaan 99% (biasanya diberi dua buah tanda asterik (**), yang menunjukkan berbeda sangat nyata)

Suhu (B)

Karena Fhitung (28.97) > 3.354 maka kita tolak H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ pada taraf kepercayaan 95% (biasanya diberi satu buah tanda asterik (*), yang menunjukkan berbeda nyata)

Karena Fhitung (28.97) > 5.488 maka kita tolak H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ pada taraf kepercayaan 99% (biasanya diberi dua buah tanda asterik (**), yang menunjukkan berbeda sangat nyata)

Interaksi Material x Suhu (AxB)

Karena Fhitung (3.56) > 2.728 maka kita tolak H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ pada taraf kepercayaan 95% (biasanya diberi satu buah tanda asterik (*), yang menunjukkan berbeda nyata)

Karena Fhitung (3.56) ≤ 4.106 maka kita gagal untuk menolak H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ pada taraf kepercayaan 99%

Terlebih dahulu, kita periksa apakah Pengaruh Interaksi nyata atau tidak? Apabila nyata, selanjutnya periksalah pengaruh sederhana dari interaksi tersebut, dan abaikan pengaruh utamanya (mandirinya), meskipun pengaruh utama tersebut signifikan! Mengapa? Coba lihat kembali bahasan mengenai pengaruh interaksi dan pengaruh utama!  Pengujian pengaruh utama (apabila signifikan) hanya dilakukan apabila pengaruh interaksi tidak nyata.

Nilai F_{0.05(db1=4, db2=27)} = 2.728. Nilai (I_nteraksi =  3.56) > F_{0.05(db1=4, db2=27)}, oleh karena itu pada taraf nyata α = 5 % kita dapat menyimpulkan bahwa pengaruh interaksi antara material dan suhu nyata. Pengaruh material dan suhu tidak bebas terhadap rata-rata daya tahan baterai.  Artinya pengaruh material tertentu spesifik pada berbagai level suhu. Karena pengaruh interaksi nyata, kita tidak perlu menguji pengaruh utama.

Langkah 7: Hitung Koefisien Keragaman (KK)

$$\begin{matrix}KK=\frac{\sqrt{KTG}}{\bar{Y}..}\times100\%=\frac{\sqrt{675.213}}{105.528}\times100\%\\=24.62\%;\\\end{matrix}$$

Post-Hoc

Berdasarkan analisis ragam, pengaruh interaksi antara Material dan Suhu nyata, sehingga kita perlu melakukan pengujian pengaruh-pengaruh sederhananya yang merupakan konsekuensi logis dari model percobaan faktorial dalam penelitian.  Hal ini dilakukan untuk mendapatkan kesimpulan yang lebih komprehensif dan bukan hanya sekedar menyatakan bahwa pengaruh interaksi nyata dan sibuk dengan pengujian pengaruh utama dari faktor-faktor yang dicobakan.

Pada pengujian lanjut ini, perbedaan di antara pasangan rata-rata perlakuan dilakukan dengan menggunakan uji Duncan.

1. Langkah 1: Hitung nilai wilayah nyata terpendek (R_p):
   • Tentukan nilai KTG dan derajat bebasnya yang diperoleh dari Tabel Analisis Ragam.
     • KTG = 675.213
     • ν = db = 27
   • Tentukan nilai kritisnya dari tabel wilayah nyata student yang didasarkan pada derajat bebas galat dan banyaknya perlakuan yang akan dibandingkan. 
     • Ada tiga parameter yang dibutuhkan untuk menentukan nilai r_α(p,db), yaitu taraf nyata (α), p = banyaknya perlakuan yang akan dibandingkan, dan derajat bebas galat (db).  Pada contoh ini, p = 2, 3, nilai db = 27 (lihat db galat pada tabel Analisis Ragamnya) dan α = 0.05. Selanjutnya, tentukan nilai r_{0.05(p, 27)}.
     • Untuk mencari nilai r_{0.05(p, 27)} kita dapat melihatnya pada tabel Significant Ranges for Duncan’s Multiple Range Test pada taraf nyata α = 0.05 dengan p = 2, 3 dan derajat bebas (v)= 27.  Perhatikan gambar berikut untuk menentukan r-tabel.
       
     • Dari tabel tersebut kita dapatkan nilai r_a,p,n yaitu 2.905 dan 3.050
   • Hitung wilayah nyata terpendek (R_p):
     
   • Kriteria pengujian:
     • Bandingkan nilai mutlak selisih kedua rata-rata yang akan kita lihat perbedaannya dengan nilai wilayah nyata terpendek (R_p) dengan kriteria pengujian sebagai berikut:
       $ Jika\ \ \left|\mu_i-\mu_j\right|\ \ \left\langle\ \ \begin{matrix}>R_p \text{ maka hasil uji menjadi nyata}\\\le R_p \text{ maka hasil uji tidak nyata}\\\end{matrix}\right.$
2. Langkah 2: Urutkan tabel rata-rata perlakuan dari kecil ke besar atau sebaliknya. Pada contoh ini, rata-rata perlakuan diurutkan dari kecil ke besar

Perbedaan dua rata-rata Material pada taraf suhu yang sama:

Pengujian pengaruh sederhana perbedaan dua rata-rata Material pada suhu 15 ^oC:

Keterangan:

angka superscript [(2); (3)] menunjukkan peringkat (p) untuk dibandingkan dengan selisih perbedaan dua rata-rata yang sesuai dengan peringkatnya (Ingat! rata-rata perlakuan sudah diurutkan sebelumnya). Misalnya, selisih antara A vs C bandingkan dengan Rp(2) = 37.743, karena A dan C letaknya tidak dipisahkan oleh perlakuan lain (bertetangga), sedangkan selisih antara A vs B bandingkan dengan Rp(3) = 39.627.

tn = tidak nyata; * = nyata pada taraf nyata 5%

garis yang sama menunjukkan tidak terdapat perbedaan di antara pasangan rata-rata perlakuan.  Apabila dinotasikan, garis berwarna hitam di beri notasi huruf, sedangkan garis berwarna merah diabaikan, karena sudah terwakili oleh garis hitam.

Pengujian pengaruh sederhana perbedaan dua rata-rata Material pada suhu 70 ^oC:

Pengujian pengaruh sederhana perbedaan dua rata-rata Material pada suhu 115 ^oC:

Perbedaan dua rata-rata Suhu pada taraf Material yang sama:

Pengujian pengaruh sederhana perbedaan dua rata-rata Suhu pada Material A:

Pengujian pengaruh sederhana perbedaan dua rata-rata Suhu pada Material B:

Pengujian pengaruh sederhana perbedaan dua rata-rata Suhu pada Material C:

Penyajian pengujian pengaruh sederhana pada percobaan tersebut dapat diringkas dalam bentuk tabel dua arah seperti tampak pada tabel berikut:

Keterangan:           

Angka yang diikuti huruf yang sama tidak berbeda nyata menurut uji Duncan pada taraf nyata 5%.  Huruf kecil dibaca arah vertikal (kolom) dan huruf kapital dibaca arah horizontal (baris)

Alternatif: Pengaruh Interaksi (kombinasi dari taraf faktor)

Apabila interaksi signifikan, seharusnya diperiksa pengaruh sederhana. Namun apabila ingin membandingkan kombinasinya (AxB), maka banyaknya perlakuan yang akan dibandingkan (p) berbeda dengan perhitungan sebelumnya. Banyaknya p = t-1 = 9-1 = 8 buah.

Tabel kombinasi taraf dari kedua faktor

Pembanding (Duncan)

Tabel Matriks selisih perbedaan pasangan rata-rata AxB (setelah diurutkan dalam urutan menaik)

Keterangan: Bandingkan selisih pasangan dua rata-rata dengan nilai pembanding yang sesuai berdasarkan peringkat jarak di antara kedua rata-rata (pada contoh di atas, untuk memudahkan pemahaman pembandingan selisih rata-rata dengan peringkat yang sesuai ditandai dengan kode warna yang sama antara selisih dan pembanding)

Penyajian pengujian pengaruh interaksi AxB pada percobaan tersebut dapat diringkas dalam bentuk tabel dua arah seperti tampak pada tabel berikut:

Keterangan:           

Angka yang diikuti huruf yang sama tidak berbeda nyata menurut uji Duncan pada taraf nyata 5%.

Material mana yang terbaik? Material C? Pada tabel di atas, sulit untuk diinterpretasi, karena ada saling ketergantungan antara faktor.

Suhu berapa yang terbaik? 15 ˚C?

Coba bandingkan hasil pengujian pengaruh interaksi dengan pengujian pengaruh sederhananya!

Pada pengujian pengaruh sederhana, saling ketergantungan bisa diinterpretasi.

Tabel Pengaruh Sederhana Suhu dan Material terhadap Daya Tahan Baterai

Keterangan:           

Angka yang diikuti huruf yang sama tidak berbeda nyata menurut uji Duncan pada taraf nyata 5%.  Huruf kecil dibaca arah vertikal (kolom) dan huruf kapital dibaca arah horizontal (baris)

Material mana yang terbaik? Material C? tidak! Semua material tidak berbeda apabila suhunya rendah (15) atau tinggi (125). Material B dan C baik apabila suhunya 70 ˚C.

Suhu berapa yang terbaik? 15 ˚C? Ya, apabila menggunakan material A, namun apabila material B atau C yang digunakan, suhu yang cocok yaitu 15 ˚C dan 75 ˚C.

Perhitungan dengan menggunakan SmartstatXL Excel Add-In

Tabel Anova

Tabel Uji Lanjut