Pada pembahasan sebelumnya kita sudah mendiskusikan mengenai pengaruh perlakuan tunggal terhadap respons tertentu. Perlakuan tunggal tersebut dinamakan faktor, dan taraf atau level dari faktor tersebut dinamakan taraf. Faktor disimbolkan dengan huruf kapital sedangkan taraf dari faktor tersebut disimbolkan dengan huruf kecil. Apabila secara serempak kita mengamati pengaruh beberapa faktor dalam suatu penelitian yang sama, maka percobaan tersebut dinamakan dengan percobaan faktorial.
Percobaan faktorial adalah suatu percobaan yang perlakuannya terdiri atas semua kemungkinan kombinasi taraf dari beberapa faktor. Percobaan dengan menggunakan f faktor dengan t taraf untuk setiap faktornya disimbolkan dengan percobaan faktorial ft. Misalnya, percobaan faktorial 22 artinya kita menggunakan 2 faktor dan taraf masing-masing faktornya terdiri dari 2 taraf. Percobaan faktorial 22 juga sering ditulis dalam bentuk percobaan faktorial 2x2. Penyimbolan yang terakhir sering digunakan untuk percobaan faktorial dimana taraf dari masing-masing faktornya berbeda, misalnya 2 taraf untuk faktor A dan 3 taraf untuk faktor B, maka percobaannya disebut percobaan faktorial 2x3. Percobaan faktorial 2x2x3 maksudnya percobaan faktorial yang terdiri dari 3 faktor dengan taraf untuk masing-masing faktornya berturut-turut 2, 2, dan 3. Dengan demikian, dalam percobaan faktorial, ada dua tahap yang perlu dilakukan, pertama yaitu rancangan perlakuannya, seperti yang sudah diuraikan sebelumnya, dan selanjutnya tahap pemilihan rancangan lingkungannya yaitu yang menyangkut bentuk desain percobaan seperti RAL, RAK, Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL), Rancangan Petak Terbagi (Split Plot), Rancangan Petak Berjalur (Strip Plot).
Sub bahasan:
- Pendahuluan
- Percobaan Faktorial dalam Rancangan Acak Lengkap
- Pengacakan dan Denah Percobaan Faktorial dalam Rancangan Acak Lengkap
- Model Linier Rancangan Faktorial Dalam RAL
- Contoh RAL Faktorial
Bahasan selengkapnya bisa dibaca pada dokumen di bawah ini.
Pendahuluan
Pada pembahasan sebelumnya kita sudah mendiskusikan mengenai pengaruh perlakuan tunggal terhadap respons tertentu. Perlakuan tunggal tersebut dinamakan faktor, dan taraf atau level dari faktor tersebut dinamakan taraf. Faktor disimbolkan dengan huruf kapital sedangkan taraf dari faktor tersebut disimbolkan dengan huruf kecil. Apabila secara serempak kita mengamati pengaruh beberapa faktor dalam suatu penelitian yang sama, maka percobaan tersebut dinamakan dengan percobaan faktorial.
Percobaan faktorial adalah suatu percobaan yang perlakuannya terdiri atas semua kemungkinan kombinasi taraf dari beberapa faktor. Percobaan dengan menggunakan f faktor dengan t taraf untuk setiap faktornya disimbolkan dengan percobaan faktorial ft. Misalnya, percobaan faktorial 22 artinya kita menggunakan 2 faktor dan taraf masing-masing faktornya terdiri dari 2 taraf. Percobaan faktorial 22 juga sering ditulis dalam bentuk percobaan faktorial 2x2. Penyimbolan yang terakhir sering digunakan untuk percobaan faktorial di mana taraf dari masing-masing faktornya berbeda, misalnya 2 taraf untuk faktor A dan 3 taraf untuk faktor B, maka percobaannya disebut percobaan faktorial 2x3. Percobaan faktorial 2x2x3 maksudnya percobaan faktorial yang terdiri dari 3 faktor dengan taraf untuk masing-masing faktornya berturut-turut 2, 2, dan 3. Dengan demikian, dalam percobaan faktorial, ada dua tahap yang perlu dilakukan, pertama yaitu rancangan perlakuannya, seperti yang sudah diuraikan sebelumnya, dan selanjutnya tahap pemilihan rancangan lingkungannya yaitu yang menyangkut bentuk desain percobaan seperti RAL, RAKL, RBSL, Split-plot, Split-Blok.
Tujuan dari percobaan faktorial adalah untuk melihat interaksi antara faktor yang kita cobakan. Adakalanya kedua faktor saling sinergi terhadap respons (positif), namun adakalanya juga keberadaan salah satu faktor justru menghambat kinerja dari faktor lain (negatif). Adanya kedua mekanisme tersebut cenderung meningkatkan pengaruh interaksi antar ke dua faktor. Interaksi mengukur kegagalan dari pengaruh salah satu faktor untuk tetap sama pada setiap taraf faktor lainnya atau secara sederhana, Interaksi antara faktor adalah apakah pengaruh dari faktor tertentu tergantung pada taraf faktor lainnya? Misalnya apabila pengaruh sederhana N sama pada setiap taraf pemberian pupuk P maka kedua faktor tersebut saling bebas (independen) dan dikatakan tidak ada interaksi, sedangkan apabila pemberian N memberikan pengaruh yang berbeda pada setiap taraf dari P, maka dikatakan terjadi interaksi antara Faktor N dan Faktor P.
Sebagai contoh, apabila kita ingin mengamati pengaruh pemberian Nitrogen (N) yang terdiri dari 2 taraf (n0, dan n1) dan pemberian fosfor (P) yang terdiri dari 2 taraf (p0, p1) terhadap respons tertentu, dengan hasil sebagai berikut:
Tabel 20. Pengaruh sederhana, pengaruh utama, dan pengaruh Interaksi
Faktor | Nitrogen (N) | Rataan P | Pengaruh sederhana N | |
Fosfor (P) | n0 | n1 |
| n1-n0 |
p0 | 40 | 48 | 44 | 8 (se N, p0) |
p1 | 42 | 51 | 46.5 | 9 (se N, p1) |
Rataan N | 41 | 49.5 | 45.25 | 8.5 (me N) |
Pengaruh sederhana P (p1-p0) | 2 (se P, n0) | 3 (se P, n1) | 2.5 (me P) |
|
Selisih n1 – n0 dan p1 – p0 dinamakan pengaruh sederhana (simple effects) disimbolkan dengan (se N) dan (se P). Rata-rata dari pengaruh sederhana dinamakan dengan pengaruh utama (main effects), disimbolkan (me N) and (me P).
Perkiraan pengaruh interaksi dan pengaruh utama dari rata-rata perlakuan dapat dihitung dengan formula berikut:
Pengaruh Sederhana (simple effect, se):
$\begin{matrix}se\ N\ \text{ pada }\ p_0=n_1p_0-n_0p_0\\=48-40\\=8\\se\ N\ \text{ pada } \ p_1=n_1p_1-n_0p_1\\=51-42\\=9\\\end{matrix}$ $\begin{matrix}se\ P\ \text{ pada } \ n_0=p_1n_0-p_0n_0\\=42-40\\=2\\se\ P\ \text{ pada }\ n_1=p_1n_1-p_0n_1\\=51-48\\=3\\\end{matrix}$
Pengaruh Utama (main effect, me):
$\begin{matrix}me\ N=\frac{1}{2}(se\ \ N\ \ pada\ \ p0+se\ \ N\ \ pada\ \ p1)\\=\frac{1}{2}\left[(n_1p_0-n_0p_0)+(n_1p_1-n_0p_1)\right]\\=\frac{1}{2}\left[(48-40)+(51-42)\right]\\=8.5\\\end{matrix}$
$\begin{matrix}me\ P=\frac{1}{2}(se\ \ P\ \ pada\ \ n0+se\ \ P\ \ pada\ \ n1)\\=\frac{1}{2}\left[(p_1n_0-p_0n_0)+(p_1n_1-p_0n_1)\right]\\=\frac{1}{2}\left[(42-40)+(51-48)\right]\\=2.5\\\end{matrix}$
Pengaruh Interaksi:
$\begin{matrix}Interaksi\ N\times P=\frac{1}{2}\left[(n_1p_0-n_0p_0)-(n_1p_1-n_0p_1)\right]\\=\frac{1}{2}\left[(48-40)-(51-42)\right]\\=-0.5\\\end{matrix}$
atau
$\begin{matrix}=\frac{1}{2}\left[\left(p_1n_0-p_0n_0\right)-\left(p_1n_1-p_0n_1\right)\right]\\=\frac{1}{2}\left[\left(42-40\right)-\left(51-48\right)\right]\\=-0.5\\\end{matrix}$
Pengaruh sederhana ini diperlukan oleh pengguna (petani, misalnya), apabila dia hanya membatasi pada penggunaan taraf tertentu dari salah satu faktor. Misalnya, apabila petani ingin melihat perbedaan pengaruh N pada setiap taraf pemupukan P, pengaruh sederhana N pada taraf p0 = 8 dan pada taraf p1 = 9.
Perbedaan antara pengaruh sederhana dan interaksi secara grafis dapat divisualisasikan sebagai berikut:
Gambar 11. Perbedaan antara pengaruh sederhana dan interaksi
Kemungkinan yang bisa terjadi antara pengaruh utama dan interaksi disajikan pada Gambar berikut:
Sumber Keragaman | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
A | tn | * | tn | * | tn | * | tn | * |
B | tn | tn | * | * | tn | tn | * | * |
AxB | tn | tn | tn | tn | * | * | * | * |
Gambar 12. Berbagai kemungkinan bentuk interaksi antara faktor
Keuntungan:
Lebih efisien dalam menggunakan sumber-sumber yang ada
Informasi yang diperoleh lebih komprehensif karena kita bisa mempelajari pengaruh utama dan interaksi
Hasil percobaan dapat diterapkan dalam suatu kondisi yang lebih luas karena kita mempelajari kombinasi dari berbagai faktor
Kerugian:
Analisis Statistika menjadi lebih kompleks
Terdapat kesulitan dalam menyediakan satuan percobaan yang relatif homogen
pengaruh dari kombinasi perlakuan tertentu mungkin tidak berarti apa-apa sehingga terjadi pemborosan sumberdaya yang ada
Percobaan Faktorial dalam Rancangan Acak Lengkap
Percobaan faktorial dalam rancangan acak lengkap merupakan percobaan faktorial dengan menggunakan rancangan acak lengkap sebagai rancangan lingkungannya. Pada prinsipnya sama dengan rancangan acak lengkap, namun dalam hal ini faktor yang dicobakan lebih dari satu.
Pengacakan dan Denah Percobaan Faktorial dalam Rancangan Acak Lengkap
Cara pengacakan sama seperti rancangan acak lengkap. Penempatan perlakuan-perlakuan yang merupakan kombinasi dari taraf faktor yang akan dicobakan dilakukan dengan cara yang sama seperti rancangan acak lengkap. Perhatikan contoh kasus berikut. Suatu percobaan ingin mempelajari pengaruh pemupukan Nitrogen dan Varietas terhadap hasil produksi yang dilaksanakan di Rumah Kaca. Kondisi lingkungan diasumsikan homogen. Faktor pemupukan terdiri dari 2 taraf, yaitu 0 kg N/ha (n0) dan 60 kg N/ha (n1). Faktor Varietas terdiri dari dua taraf, yaitu Varietas IR-64 (v1) dan Varietas S-969 (v2). Percobaan dirancang dengan menggunakan rancangan dasar RAL yang diulang 3 kali. Percobaan tersebut merupakan percobaan faktorial 2x2 sehingga terdapat 4 kombinasi perlakuan: n0v1; n0v2; n1v1; dan n1v2. Karena diulang 3 kali, maka satuan percobaannya terdiri dari 4x3 = 12 satuan percobaan.
Buat 12 petak (satuan percobaan) dan satuan percobaan tersebut diberi nomor dari 1 sampai 12. Langkah pengacakan sama dengan pengacakan pada RAL tunggal. Misal hasil pengacakan adalah sebagai berikut:
Berdasarkan hasil pengacakan tersebut, maka tata letak percobaan adalah sebagai berikut:
1 = n1v1 | 2 = n0v2 | 3 = n0v1 | 4 = n1v2 |
5 = n1v1 | 6 = n1v2 | 7 = n1v2 | 8 = n1v1 |
9 = n0v1 | 10 = n0v2 | 11 = n0v2 | 12 = n0v1 |
Gambar 13. Denah Percobaan Faktorial 2 x 2 dengan Rancangan Lingkungan RAL
Model Linier Rancangan Faktorial Dalam RAL
Model linier aditif untuk rancangan faktorial dua faktor dengan rancangan lingkungannya rancangan acak lengkap adalah sebagai berikut :
Yijk = μ + αi + βj + (αβ)ij + εijk
dengan i =1,2…,a; j = 1,2,…,b; c = 1,2,…,r
Yijk = pengamatan pada satuan percobaan ke-k yang memperoleh kombinasi perlakuan taraf ke-i dari faktor A dan taraf ke-j dari faktor B
μ = mean populasi
αi = pengaruh taraf ke-i dari faktor A
βj = pengaruh taraf ke-j dari faktor B
(αβ)ij = pengaruh taraf ke-i dari faktor A dan taraf ke-j dari faktor B
εijk = pengaruh acak dari satuan percobaan ke-k yang memperoleh kombinasi perlakuan ij. εij ~ N(0,σ2).
Asumsi:
Apabila semua faktor (faktor A dan B) | Apabila semua faktor (faktor A dan B) |
$\begin{matrix}\sum{\alpha_i\ \ =\ 0\ ;\ \ \ \ \ \sum\beta_j}\ =\ 0\ ;\ \ \ \ \ \\\sum_{i}{(\alpha\beta)_{ij}=\sum_{j}{(\alpha\beta)_{ij}=}}0\ ;\ \ \ \ \ \varepsilon_{ijk}\overset{bsi}{\sim}N(0,\sigma^2)\\\end{matrix}$ | $\begin{matrix}\ \ \alpha_i\buildrel~\over~N(0,{\sigma_\alpha}^2)\ \ ;\ \ \ \ \ \beta_j\buildrel~\over~N(0,{\sigma_\beta}^2)\ ;\ \ \ \ \\\ (\alpha\beta)_{ij}\buildrel~\over~N(0,{\sigma_{\alpha\beta}}^2)\ \ ;\ \ \ \ \ \ \varepsilon_{ijk}\overset{bsi}{\sim}N(0,\sigma^2)\\\end{matrix}$ |
Hipotesis:
Hipotesis yang diuji dalam rancangan faktorial yang terdiri dari dua faktor dengan rancangan lingkungan rancangan acak lengkap adalah:
Hipotesis yang | Model Tetap (Model I) | Model Acak (Model II) |
Pengaruh Interaksi AxB | ||
H0 | (αβ)ij =0 (tidak ada pengaruh interaksi terhadap respons yang diamati) | σ2αβ=0 (tidak ada keragaman dalam populasi kombinasi perlakuan) |
H1 | minimal ada sepasang (i,j) sehingga (αβ)ij ≠0 (ada pengaruh interaksi terhadap respons yang diamati) | σ2αβ>0 (terdapat keragaman dalam populasi kombinasi perlakuan) |
Pengaruh Utama Faktor A | ||
H0 | α1 =α2 =…=αa=0 (tidak ada perbedaan respons di antara taraf faktor A yang dicobakan) | σ2α=0 (tidak ada keragaman dalam populasi taraf faktor A) |
H1 | minimal ada satu i sehingga αi ≠0 (ada perbedaan respons di antara taraf faktor A yang dicobakan) | σ2α>0 (terdapat keragaman dalam populasi taraf faktor A) |
Pengaruh Utama Faktor B | ||
H0 | β1 =β2 =…=βb=0 (tidak ada perbedaan respons di antara taraf faktor B yang dicobakan) | σ2β=0 (tidak ada keragaman dalam populasi taraf faktor B) |
H1 | minimal ada satu j sehingga βj ≠0 (ada perbedaan respons di antara taraf faktor B yang dicobakan) | σ2β>0 (terdapat keragaman dalam populasi taraf faktor B)
|
|
|
|
Analisis Ragam:
Model linier percobaan faktorial dengan rancangan dasar RAL adalah sebagai berikut:
$$\begin{matrix}Y_{ijk}=Model+Galat\\Y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij}+\varepsilon_{ijk}\\Y_{ijk}={\overline{Y}}_{...}+({\overline{Y}}_{i..}-{\overline{Y}}_{...})+({\overline{Y}}_{.j.}-{\overline{Y}}_{...})+({\overline{Y}}_{ij.}-{\overline{Y}}_{i..}-{\overline{Y}}_{.j.}+{\overline{Y}}_{...})+(Y_{ijk}-{\overline{Y}}_{ij.})\\(Y_{ijk}-{\overline{Y}}_{...})=({\overline{Y}}_{i..}-{\overline{Y}}_{...})+({\overline{Y}}_{.j.}-{\overline{Y}}_{...})+({\overline{Y}}_{ij.}-{\overline{Y}}_{i..}-{\overline{Y}}_{.j.}+{\overline{Y}}_{...})+(Y_{ijk}-{\overline{Y}}_{ij.})\\\end{matrix}$$
Apabila kedua ruas dikuadratkan, maka kita akan mendapatkan:
| Definisi | Pengerjaan |
FK |
| $$\frac{Y...^2}{abr}$$ |
JKT | $$\sum_{i=1}\sum_{j=1}\sum_{k=1}{(Y_{ijk}-\bar{Y}...)^2}$$ | $$\sum_{i,j,k}{Y_{ijk}}^2-FK$$ |
JK(A) | $$\sum_{i=1}\sum_{j=1}\sum_{k=1}{({\bar{Y}}_{i..}-\bar{Y}...)^2}$$ | $$\sum_{i}\frac{{Y_{i..}}^2}{br}-FK$$ |
JK(B) | $$\sum_{i=1}\sum_{j=1}\sum_{k=1}{({\bar{Y}}_{.j...}-\bar{Y}...)^2}$$ | $$\sum_{j}\frac{{Y_{.j.}}^2}{ar}-FK$$ |
JK(AB) | $$\sum_{i=1}\sum_{j=1}\sum_{k=1}{({\bar{Y}}_{ij.}-{\bar{Y}}_{i...}-{\bar{Y}}_{..j.}+\bar{Y}...)^2}$$ | $$\sum_{i,j}\frac{{Y_{ij.}}^2}{r}-FK-JKA-JKB$$ |
JKG | $$\sum_{i=1}\sum_{j=1}\sum_{k=1}{({\bar{Y}}_{ijk}-{\bar{Y}}_{ij.})^2}$$ | JKT – JKA – JKB -JKAB |
Tabel 21. Nilai Harapan Kuadrat tengah Rancangan Faktorial Dua Faktor Dalam Rancangan Acak Lengkap
Sumber keragaman | Kuadrat Tengah | E(KT) | |
|
| Faktor A dan B tetap | Faktor A dan B acak |
A | KT(A) | $$\sigma^2+rb\sum_{i}{\alpha_i}^2/(a-1)$$ | $$\sigma^2+r{\sigma_{\alpha\beta}}^2+rb{\sigma_\alpha}^2$$ |
B | KT(B) | $$\sigma^2+ra\sum_{j}{\beta_j}^2/(b-1)$$ | $$\sigma^2+r{\sigma_{\alpha\beta}}^2+ra{\sigma_\beta}^2$$ |
AB | KT(AB) | $$\sigma^2+r\sum_{ij}{(\alpha\beta{)_{ij}}^2}/(a-1)(b-1)$$ | $$\sigma^2+r{\sigma_{\alpha\beta}}^2$$ |
Galat | KTG | $$\sigma^2$$ | $$\sigma^2$$ |
|
|
|
|
|
| Faktor A tetap dan B acak | Faktor B tetap dan A acak |
A | KT(A) | $$\sigma^2+r{\sigma_{\alpha\beta}}^2+rb\sum_{i}{\alpha_i}^2/(a-1)$$ | $$\sigma^2+rb{\sigma_\alpha}^2$$ |
B | KT(B) | $$\sigma^2+ra{\sigma_\beta}^2$$ | $$\sigma^2+r{\sigma_{\alpha\beta}}^2+ra\sum_{j}{\beta_j}^2/(b-1)$$ |
AB | KT(AB) | $$\sigma^2+r{\sigma_{\alpha\beta}}^2$$ | $$\sigma^2+r{\sigma_{\alpha\beta}}^2$$ |
Galat | KTG | $$\sigma^2$$ | $$\sigma^2$$ |
Dengan menggunakan nilai harapan kuadrat tengah di atas, kita bisa menyusun Tabel Analisis Ragamnya. Tabel analisis ragam percobaan faktorial dengan dua faktor dalam rancangan acak lengkap adalah sebagai berikut :
Tabel 22. Analisis Ragam Rancangan Faktorial Dua Faktor Dalam Rancangan Acak Lengkap
Sumber keragaman | Derajat Bebas | Jumlah Kuadrat | Kuadrat Tengah | F-hitung | F-tabel |
Perlakuan | ab-1 | JKP | KTP | KTP/KTG | F(α, db-P, db-G) |
A | a-1 | JK(A) | KT(A) | KT(A)/KTG | F(α, db-A, db-G) |
B | b-1 | JK(B) | KT(B) | KT(B)/KTG | F(α, db-B, db-G) |
AB | (a-1) (b-1) | JK(AB) | KT(AB) | KT(AB)/KTG | F(α, db-AB, db-G) |
Galat | ab(r-1) | JK(G) | KTG |
|
|
Total | abr-1 | JKT |
|
|
|
Apabila terdapat pengaruh interaksi, maka pengujian hipotesis terhadap pengaruh utama tidak perlu dilakukan. Pengujian terhadap pengaruh utama akan bermanfaat apabila pengaruh interaksi tidak nyata. Kaidah keputusan tolak Ho apabila nilai F > Fα(db1, db2), dan sebaliknya terima Ho.
Galat Baku
Galat baku (Standar error) untuk perbedaan di antara rata-rata perlakuan dihitung dengan formula berikut:
Perbandingan dua rata-rata Faktor A:
$$ {SED}={S}_{\bar{{Y}}}=\sqrt{\frac{\mathbf{2}{KTG}}{{rb}}}$$
Perbandingan dua rata-rata Faktor B:
$$ {SED}={S}_{\bar{{Y}}}=\sqrt{\frac{\mathbf{2}{KTG}}{{ra}}}$$
Perbandingan interaksi dua rata-rata Faktor AxB:
$$ {SED}={S}_{\bar{{Y}}}=\sqrt{\frac{\mathbf{2}{KTG}}{{r}}}$$
Contoh Penerapan
Percobaan : Ada 3 jenis material untuk pembuatan baterai (A, B, C) dicobakan pada 3 temperatur (15oF, 70oF, 125oF). Dari percobaan tersebut ingin diketahui apakah jenis material dan suhu mempengaruhi daya tahan baterai ? Apakah jenis material tertentu cocok untuk suhu tertentu? Dari percobaan tersebut diperoleh data daya tahan baterai sebagai berikut :
Tabel 23. Data Daya Tahan Baterai Dari 3 Jenis Material Pada Tiga Macam Temperatur
Material | Suhu | ||
15 | 70 | 125 | |
A | 130 | 34 | 20 |
| 74 | 80 | 82 |
| 155 | 40 | 70 |
| 180 | 75 | 58 |
B | 150 | 136 | 25 |
| 159 | 106 | 70 |
| 188 | 122 | 58 |
| 126 | 115 | 45 |
C | 138 | 174 | 96 |
| 168 | 150 | 82 |
| 110 | 120 | 104 |
| 160 | 139 | 60 |
Penyelesaian:
Tabel Perlakuan:
Material (A) | Suhu (B) | Jumlah | ||
15 | 70 | 125 | Yi.. | |
A | 539 | 229 | 230 | 998 |
B | 623 | 479 | 198 | 1300 |
C | 576 | 583 | 342 | 1501 |
Jumlah (Y.j.) | 1738 | 1291 | 770 | Y... = 3799 |
Langkah 1: Hitung Faktor Koreksi
$$\begin{matrix}FK=\frac{Y...^2}{rab}=\frac{3799^2}{4\times3\times3}=400900.028\\\\\end{matrix}$$
Langkah 2: Hitung Jumlah Kuadrat Total
$$\begin{matrix}JKT=\sum_{i,j,k}{Y_{ijk}}^2-FK\\=(130^2+74^2+....+104^2+60^2)-400900.028\ \\=478547.000\\\end{matrix}$$
Langkah 3: Hitung Jumlah Kuadrat Perlakuan
$$\begin{matrix}JKA=\sum_{i}\frac{{Y_{i..}}^2}{rb}-FK\\=\frac{(998^2+1300^2+1501^2)}{4\times3}-400900.028\ \ \\=10683.722\\\end{matrix}$$
$$\begin{matrix}JKB=\sum_{j}\frac{{Y_{.j.}}^2}{ra}-FK\\=\frac{(1738^2+1291^2+770^2)}{4\times3}-400900.028\ \ \\=39118.722\\\end{matrix}$$
$$\begin{matrix}JK(AB)=\sum_{i,j}\frac{{Y_{ij.}}^2}{r}-FK-JKA-JKB\\=\frac{(539^2+229^2+...+583^2+342^2)}{4}-400900.028-10683.722-39118.722\\=9613.778\\\end{matrix}$$
Langkah 4: Hitung Jumlah Kuadrat Galat
$$\begin{matrix}JKG=JKT-JKA-JKB-JK(AB)\\=18230.750\\\end{matrix}$$
Langkah 5: Buat Tabel Analisis Ragam beserta Nilai F-tabelnya
Tabel 24. Analisis Ragam Daya Tahan Baterai
Sumber Ragam | DB | JK | KT | F-hit | F prob | F .05 | F .01 |
Material (A) | 2 | 10683.7222 | 5341.86111 | 7.91 ** | 0.00197608 | 3.354 | 5.488 |
Suhu (B) | 2 | 39118.7222 | 19559.3611 | 28.97 ** | 1.9086E-07 | 3.354 | 5.488 |
AxB | 4 | 9613.77778 | 2403.44444 | 3.56 * | 0.01861117 | 2.728 | 4.106 |
Galat | 27 | 18230.75 | 675.212963 | - |
|
|
|
Total | 35 | 77646.9722 |
|
|
|
|
|
F(0.05,2,27) = 3.354
F(0.01,2,27) = 5.488
F(0.05,4,27) = 2.728
F(0.01,4,27) = 4.106
Langkah 6: Buat Kesimpulan
Material (A)
Karena Fhitung (7.91) > 3.354 maka kita tolak H0: μ1 = μ2 = μ3 pada taraf kepercayaan 95% (biasanya diberi satu buah tanda asterik (*), yang menunjukkan berbeda nyata)
Karena Fhitung (7.91) > 5.488 maka kita tolak H0: μ1 = μ2 = μ3 pada taraf kepercayaan 99% (biasanya diberi dua buah tanda asterik (**), yang menunjukkan berbeda sangat nyata)
Suhu (B)
Karena Fhitung (28.97) > 3.354 maka kita tolak H0: μ1 = μ2 = μ3 pada taraf kepercayaan 95% (biasanya diberi satu buah tanda asterik (*), yang menunjukkan berbeda nyata)
Karena Fhitung (28.97) > 5.488 maka kita tolak H0: μ1 = μ2 = μ3 pada taraf kepercayaan 99% (biasanya diberi dua buah tanda asterik (**), yang menunjukkan berbeda sangat nyata)
Interaksi Material x Suhu (AxB)
Karena Fhitung (3.56) > 2.728 maka kita tolak H0: μ1 = μ2 = μ3 pada taraf kepercayaan 95% (biasanya diberi satu buah tanda asterik (*), yang menunjukkan berbeda nyata)
Karena Fhitung (3.56) ≤ 4.106 maka kita gagal untuk menolak H0: μ1 = μ2 = μ3 pada taraf kepercayaan 99%
Terlebih dahulu, kita periksa apakah Pengaruh Interaksi nyata atau tidak? Apabila nyata, selanjutnya periksalah pengaruh sederhana dari interaksi tersebut, dan abaikan pengaruh utamanya (mandirinya), meskipun pengaruh utama tersebut signifikan! Mengapa? Coba lihat kembali bahasan mengenai pengaruh interaksi dan pengaruh utama! Pengujian pengaruh utama (apabila signifikan) hanya dilakukan apabila pengaruh interaksi tidak nyata.
Nilai F0.05(db1=4, db2=27) = 2.728. Nilai (Interaksi = 3.56) > F0.05(db1=4, db2=27), oleh karena itu pada taraf nyata α = 5 % kita dapat menyimpulkan bahwa pengaruh interaksi antara material dan suhu nyata. Pengaruh material dan suhu tidak bebas terhadap rata-rata daya tahan baterai. Artinya pengaruh material tertentu spesifik pada berbagai level suhu. Karena pengaruh interaksi nyata, kita tidak perlu menguji pengaruh utama.
Langkah 7: Hitung Koefisien Keragaman (KK)
$$\begin{matrix}KK=\frac{\sqrt{KTG}}{\bar{Y}..}\times100\%=\frac{\sqrt{675.213}}{105.528}\times100\%\\=24.62\%;\\\end{matrix}$$
Post-Hoc
Berdasarkan analisis ragam, pengaruh interaksi antara Material dan Suhu nyata, sehingga kita perlu melakukan pengujian pengaruh-pengaruh sederhananya yang merupakan konsekuensi logis dari model percobaan faktorial dalam penelitian. Hal ini dilakukan untuk mendapatkan kesimpulan yang lebih komprehensif dan bukan hanya sekedar menyatakan bahwa pengaruh interaksi nyata dan sibuk dengan pengujian pengaruh utama dari faktor-faktor yang dicobakan.
Pada pengujian lanjut ini, perbedaan di antara pasangan rata-rata perlakuan dilakukan dengan menggunakan uji Duncan.
- Langkah 1: Hitung nilai wilayah nyata terpendek (Rp):
- Tentukan nilai KTG dan derajat bebasnya yang diperoleh dari Tabel Analisis Ragam.
- KTG = 675.213
- ν = db = 27
- Tentukan nilai kritisnya dari tabel wilayah nyata student yang didasarkan pada derajat bebas galat dan banyaknya perlakuan yang akan dibandingkan.
- Ada tiga parameter yang dibutuhkan untuk menentukan nilai rα(p,db), yaitu taraf nyata (α), p = banyaknya perlakuan yang akan dibandingkan, dan derajat bebas galat (db). Pada contoh ini, p = 2, 3, nilai db = 27 (lihat db galat pada tabel Analisis Ragamnya) dan α = 0.05. Selanjutnya, tentukan nilai r0.05(p, 27).
- Untuk mencari nilai r0.05(p, 27) kita dapat melihatnya pada tabel Significant Ranges for Duncan’s Multiple Range Test pada taraf nyata α = 0.05 dengan p = 2, 3 dan derajat bebas (v)= 27. Perhatikan gambar berikut untuk menentukan r-tabel.
- Dari tabel tersebut kita dapatkan nilai ra,p,n yaitu 2.905 dan 3.050
- Hitung wilayah nyata terpendek (Rp):
- Kriteria pengujian:
- Bandingkan nilai mutlak selisih kedua rata-rata yang akan kita lihat perbedaannya dengan nilai wilayah nyata terpendek (Rp) dengan kriteria pengujian sebagai berikut:
$ Jika\ \ \left|\mu_i-\mu_j\right|\ \ \left\langle\ \ \begin{matrix}>R_p \text{ maka hasil uji menjadi nyata}\\\le R_p \text{ maka hasil uji tidak nyata}\\\end{matrix}\right.$
- Bandingkan nilai mutlak selisih kedua rata-rata yang akan kita lihat perbedaannya dengan nilai wilayah nyata terpendek (Rp) dengan kriteria pengujian sebagai berikut:
- Tentukan nilai KTG dan derajat bebasnya yang diperoleh dari Tabel Analisis Ragam.
- Langkah 2: Urutkan tabel rata-rata perlakuan dari kecil ke besar atau sebaliknya. Pada contoh ini, rata-rata perlakuan diurutkan dari kecil ke besar
Perbedaan dua rata-rata Material pada taraf suhu yang sama:
Pengujian pengaruh sederhana perbedaan dua rata-rata Material pada suhu 15 oC:
A | C | B | Notasi | ||
Material | Rata-rata | 134.75 | 144.00 | 155.75 |
|
A | 134.75 | 0.00 | a | ||
C | 144.00 | 9.25 (2) tn | 0.00 | a | |
B | 155.75 | 21.00 (3) tn | 11.75(2) tn | 0.00 | a |
Keterangan:
angka superscript [(2); (3)] menunjukkan peringkat (p) untuk dibandingkan dengan selisih perbedaan dua rata-rata yang sesuai dengan peringkatnya (Ingat! rata-rata perlakuan sudah diurutkan sebelumnya). Misalnya, selisih antara A vs C bandingkan dengan Rp(2) = 37.743, karena A dan C letaknya tidak dipisahkan oleh perlakuan lain (bertetangga), sedangkan selisih antara A vs B bandingkan dengan Rp(3) = 39.627.
tn = tidak nyata; * = nyata pada taraf nyata 5%
garis yang sama menunjukkan tidak terdapat perbedaan di antara pasangan rata-rata perlakuan. Apabila dinotasikan, garis berwarna hitam di beri notasi huruf, sedangkan garis berwarna merah diabaikan, karena sudah terwakili oleh garis hitam.
Pengujian pengaruh sederhana perbedaan dua rata-rata Material pada suhu 70 oC:
A | B | C | Notasi | ||
Material | Rata-rata | 57.25 | 119.75 | 145.75 |
|
A | 57.25 | 0.00 | a | ||
B | 119.75 | 62.50 (2) * | 0.00 | b | |
C | 145.75 | 88.50 (3) * | 26.00 (2) tn | 0.00 | b |
Pengujian pengaruh sederhana perbedaan dua rata-rata Material pada suhu 115 oC:
B | A | C | Notasi | ||
Material | Rata-rata | 49.50 | 57.50 | 85.50 |
|
B | 49.50 | 0.00 | a | ||
A | 57.50 | 8.00 (2) tn | 0.00 | a | |
C | 85.50 | 36.00 (3) tn | 28.00 (2) tn | 0.00 | a |
Perbedaan dua rata-rata Suhu pada taraf Material yang sama:
Pengujian pengaruh sederhana perbedaan dua rata-rata Suhu pada Material A:
70 | 125 | 15 | Notasi | ||
Suhu | Rata-rata | 57.25 | 57.50 | 134.75 |
|
70 | 57.25 | 0.00 | a | ||
125 | 57.50 | 0.25 (2) tn | 0.00 | a | |
15 | 134.75 | 77.50 (3) * | 77.25 (2) * | 0.00 | b |
Pengujian pengaruh sederhana perbedaan dua rata-rata Suhu pada Material B:
125 | 70 | 15 | Notasi | ||
Suhu | Rata-rata | 49.50 | 119.75 | 155.75 |
|
125 | 49.50 | 0.00 | a | ||
70 | 119.75 | 70.25 (2) * | 0.00 | b | |
15 | 155.75 | 106.25 (3) * | 36.00 (2) tn | 0.00 | b |
Pengujian pengaruh sederhana perbedaan dua rata-rata Suhu pada Material C:
125 | 15 | 70 | Notasi | ||
Suhu | Rata-rata | 85.50 | 144.00 | 145.75 |
|
125 | 85.50 | 0.00 | a | ||
15 | 144.00 | 58.50 (2) * | 0.00 | b | |
70 | 145.75 | 60.25 (3) * | 1.75 (2) tn | 0.00 | b |
Penyajian pengujian pengaruh sederhana pada percobaan tersebut dapat diringkas dalam bentuk tabel dua arah seperti tampak pada tabel berikut:
Suhu (S) | Material (M) | ||
A | B | C | |
15 | 134.750 b | 155.750 b | 144.000 b |
70 | 57.250 a | 119.750 b | 145.750 b |
125 | 57.500 a | 49.500 a | 85.500 a |
Keterangan:
Angka yang diikuti huruf yang sama tidak berbeda nyata menurut uji Duncan pada taraf nyata 5%. Huruf kecil dibaca arah vertikal (kolom) dan huruf kapital dibaca arah horizontal (baris)
Alternatif: Pengaruh Interaksi (kombinasi dari taraf faktor)
Apabila interaksi signifikan, seharusnya diperiksa pengaruh sederhana. Namun apabila ingin membandingkan kombinasinya (AxB), maka banyaknya perlakuan yang akan dibandingkan (p) berbeda dengan perhitungan sebelumnya. Banyaknya p = t-1 = 9-1 = 8 buah.
Tabel kombinasi taraf dari kedua faktor
No. | Material | Suhu | Rata-rata |
1 | A | 15 | 134.75 |
2 | A | 70 | 57.25 |
3 | A | 125 | 57.50 |
4 | B | 15 | 155.75 |
5 | B | 70 | 119.75 |
6 | B | 125 | 49.50 |
7 | C | 15 | 144.00 |
8 | C | 70 | 145.75 |
9 | C | 125 | 85.50 |
Pembanding (Duncan)
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
Sy | 12.99 | 12.99 | 12.99 | 12.99 | 12.99 | 12.99 | 12.99 | 12.99 |
rp | 2.91 | 3.05 | 3.14 | 3.21 | 3.27 | 3.30 | 3.34 | 3.36 |
Rp | 37.74 | 39.63 | 40.73 | 41.64 | 42.42 | 42.87 | 43.33 | 43.59 |
Tabel Matriks selisih perbedaan pasangan rata-rata AxB (setelah diurutkan dalam urutan menaik)
6 | 2 | 3 | 9 | 5 | 1 | 7 | 8 | 4 |
| ||||
No. | M | S | Rataan | 49.50 | 57.25 | 57.50 | 85.50 | 119.75 | 134.75 | 144.00 | 145.75 | 155.75 |
|
6 | B | 125 | 49.50 | 0.00 | a | ||||||||
2 | A | 70 | 57.25 | 7.75 | 0.00 | a | |||||||
3 | A | 125 | 57.50 | 8.00 | 0.25 | 0.00 | a | ||||||
9 | C | 125 | 85.50 | 36.00 | 28.25 | 28.00 | 0.00 | ab | |||||
5 | B | 70 | 119.75 | 70.25 * | 62.50 * | 62.25 * | 34.25 | 0.00 | bc | ||||
1 | A | 15 | 134.75 | 85.25 * | 77.50 * | 77.25 * | 49.25 * | 15.00 | 0.00 | c | |||
7 | C | 15 | 144.00 | 94.50 * | 86.75 * | 86.50 * | 58.50 * | 24.25 | 9.25 | 0.00 | c | ||
8 | C | 70 | 145.75 | 96.25 * | 88.50 * | 88.25 * | 60.25 * | 26.00 | 11.00 | 1.75 | 0.00 | c | |
4 | B | 15 | 155.75 | 106.25 * | 98.50 * | 98.25 * | 70.25 * | 36.00 | 21.00 | 11.75 | 10.00 | 0.00 | c |
Keterangan: Bandingkan selisih pasangan dua rata-rata dengan nilai pembanding yang sesuai berdasarkan peringkat jarak di antara kedua rata-rata (pada contoh di atas, untuk memudahkan pemahaman pembandingan selisih rata-rata dengan peringkat yang sesuai ditandai dengan kode warna yang sama antara selisih dan pembanding)
Penyajian pengujian pengaruh interaksi AxB pada percobaan tersebut dapat diringkas dalam bentuk tabel dua arah seperti tampak pada tabel berikut:
Suhu (S) | Material (M) | ||
A | B | C | |
15 | 134.750 c | 155.750 c | 144.000 c |
70 | 57.250 a | 119.750 bc | 145.750 c |
125 | 57.500 a | 49.500 a | 85.500 ab |
Keterangan:
Angka yang diikuti huruf yang sama tidak berbeda nyata menurut uji Duncan pada taraf nyata 5%.
Material mana yang terbaik? Material C? Pada tabel di atas, sulit untuk diinterpretasi, karena ada saling ketergantungan antara faktor.
Suhu berapa yang terbaik? 15 ˚C?
Coba bandingkan hasil pengujian pengaruh interaksi dengan pengujian pengaruh sederhananya!
Pada pengujian pengaruh sederhana, saling ketergantungan bisa diinterpretasi.
Tabel Pengaruh Sederhana Suhu dan Material terhadap Daya Tahan Baterai
Suhu (S) | Material (M) | ||
A | B | C | |
15 | 134.750 b | 155.750 b | 144.000 b |
70 | 57.250 a | 119.750 b | 145.750 b |
125 | 57.500 a | 49.500 a | 85.500 a |
Keterangan:
Angka yang diikuti huruf yang sama tidak berbeda nyata menurut uji Duncan pada taraf nyata 5%. Huruf kecil dibaca arah vertikal (kolom) dan huruf kapital dibaca arah horizontal (baris)
Material mana yang terbaik? Material C? tidak! Semua material tidak berbeda apabila suhunya rendah (15) atau tinggi (125). Material B dan C baik apabila suhunya 70 ˚C.
Suhu berapa yang terbaik? 15 ˚C? Ya, apabila menggunakan material A, namun apabila material B atau C yang digunakan, suhu yang cocok yaitu 15 ˚C dan 75 ˚C.
Perhitungan dengan menggunakan SmartstatXL Excel Add-In
Tabel Anova
Tabel Uji Lanjut
