Contoh Rancangan Acak Lengkap: Studi Kasus dan Aplikasi

Contoh-contoh Penerapan Rancangan Acak Lengkap :

Contoh kasus 1 : Rancangan Acak Lengkap dengan Ulangan Sama

Pada contoh kasus ini, digunakan kembali contoh kasus yang sama dengan contoh pada penguraian keragaman total.  Hanya saja, menggunakan langkah perhitungan yang sedikit berbeda.  (Berikut ini adalah hasil pengujian estrogen beberapa larutan yang telah mengalami penanganan tertentu.  Berat uterin tikus dipakai sebagai ukuran keaktifan estrogen.  Berat uterin dalam miligram dari empat tikus untuk setiap kontrol dan enam larutan yang berbeda dicantumkan dalam tabel berikut )

Tabel 4.    Data Berat Uterin  (mg) dari 7 Perlakuan Terhadap Empat Tikus

Analisis Ragam

Langkah-langkah Pengujian Hipotesis:

1. Karena hanya terdapat 7 perlakuan yang tersedia, maka model yang cocok adalah model tetap.  Model tersebut adalah:
   Y_ij = μ + τ_i + ε_ij ; i =1,2,…,7 dan j = 1,2,3,4
   dengan
   
   • Y_ij    = berat uterin dari tikus ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i
   • μ     = mean populasi berat uterin
   • τ_i     = pengaruh perlakuan ke-i
   • ε_ij     = pengaruh acak pada tikus ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i
2. Asumsi : lihat asumsi untuk model tetap
3. Hipotesis yang akan diuji:
   • H₀  : Semua τ_j = 0        (atau tidak ada pengaruh perlakuan terhadap berat uterin tikus)
   • H₁  : Tidak semua τ_j = 0; atau minimal ada satu perlakuan yang mempengaruhi berat uterin tikus.

Langkah-langkah perhitungan Analisis Ragam:

Langkah 1: Hitung Faktor Koreksi

 $$\begin{matrix}FK=\frac{Y..^2}{rt}=\frac{2249^2}{28}=180642.89\\\\\end{matrix}$$

Langkah 2: Hitung Jumlah Kuadrat Total

 $$\begin{matrix}JKT=\sum_{i=1}^{t}\sum_{j=1}^{r}{Y_{ij}}^2-FK\\=(89.8^2+93.8^2+....+65.6^2+70.2^2)-180642.89\ \\=5478.51\\\end{matrix}$$

Langkah 3: Hitung Jumlah Kuadrat Perlakuan

 $$\begin{matrix}JKP=\sum_{i=1}^{t}\frac{{Y_{i.}}^2}{r}-FK\\=\frac{(384.6^2+353^2+301.6^2+\ 273.8^2+339.6^2+315.6^2+280.8^2)}{4}-180642.89\ \\=2415.94\\\end{matrix}$$

Langkah 4: Hitung Jumlah Kuadrat Galat

 $$\begin{matrix}JKG=JKT-\ JKP\\=3062.57\\\end{matrix}$$

Langkah 5: Buat Tabel Analisis Ragam beserta Nilai F-tabelnya

Tabel 5.    Analisis Ragam dari Berat Uterin Tikus

F_(0.05,6,21) = 2.573

F_(0.01,6,21) = 3.812

Langkah 6: Buat Kesimpulan

Karena Fhitung (2.76) > 2.573 maka kita tolak H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄ = μ₅ = μ₆ pada taraf kepercayaan 95%

Karena Fhitung (2.76) ≤ 3.812 maka kita gagal untuk menolak H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄ = μ₅ = μ₆ pada taraf kepercayaan 99%

Hal ini berarti bahwa pada taraf kepercayaan 95%, minimal terdapat satu perlakuan yang berbeda dengan yang lainnya.  Namun pada taraf kepercayaan 99%, semua rata-rata perlakuan tidak berbeda dengan yang lainnya. 

Keterangan:

Biasanya, tanda bintang satu (*) diberikan,  apabila nilai F-hitung lebih besar dari F(0.05) dan tanda bintang dua (**) diberikan apabila nilai F-hitung lebih besar dari F(0.01)

Langkah 7: Hitung Koefisien Keragaman (KK)

 $$\begin{matrix}KK=\frac{\sqrt{KTG}}{\bar{Y}..}\times100\%=\frac{\sqrt{145.84}}{80.32}\times100\%\\=15.03\%\\\end{matrix}$$

1. Dari tabel di atas kita dapat menduga beberapa parameter percobaan:
   • E(KTG) = σ² diduga dengan KTG = 145.84
   • E(KTP)  =  $\sigma^2+\left [\frac{r}{(t-1)}  \right ]\sum_{i=1}^{t}\tau_i^2$  diduga dengan KTP =  402.66
2. Sehingga apabila F_hitung semakin lebih besar dari 1 maka kesimpulan akan semakin cenderung untuk menolak hipotesis nol dan sebaliknya.
   • Penduga keragaman pengaruh perlakuan:  $\left [\frac{r}{(t-1)}  \right ]\sum_{i=1}^{t}\tau_i^2$ diduga melalui  $\frac{E(KTP)-\sigma^2}{r}=\frac{402.66-145.84}{4}=64.20$

Perbandingan Rataan (dengan menggunakan Uji LSD)

Pada contoh ini, pengujian perbedaan pasangan rata-rata di antara perlakuan dilakukan dengan menggunakan salah satu uji Post-Hoc, yaitu LSD.  Pada kasus ini sebenarnya tidak tepat menggunakan LSD sebagai prosedur pengujian lanjut, mengapa? (lihat bahasan tentang pengujian perbedaan rata-rata perlakuan)

Tabel Analisis Ragam dari Berat Uterin Tikus

Tabel Rata-rata Berat Uterin Tikus

1. Hitung Nilai LSD_0.05
   • $\begin{matrix}LSD=t_{0.05/2;21}\sqrt{\frac{2KTG}{r}}\\=2.08\times\sqrt{\frac{2(145.84)}{4}}\\=17.76\ \ \\\end{matrix}$
2. Urutkan Rata-rata Perlakuan (dalam contoh ini rata-rata diurutkan dari kecil ke besar)
3. Kriteria pengujian:
   • Bandingkan nilai mutlak selisih kedua rata-rata yang akan kita lihat perbedaannya dengan nilai LSD dengan kriteria pengujian sebagai berikut:
   • $ Jika\ \ \left|\mu_i-\mu_j\right|\ \ \left\langle\ \ \begin{matrix}>LSD_{0.05}tolak\ H_0,\ kedua\ rata-rata\ berbeda\ nyata\\\le LSD_{0.05}tolak\ H_0,\ kedua\ rata-rata\ tidak\ berbeda\ nyata\\\end{matrix}\right.$
4. Hasil pengujian perbedaan pasangan rata-rata (pair wise comparisons) pada taraf nyata 5%

Perhitungan dengan SmartstatXL Excel Add-In

Tabel Anova

Tabel Uji Lanjut

Contoh kasus 2 : Rancangan Acak Lengkap dengan Ulangan Tidak Sama

Dalam sebuah percobaan  biologi 4 konsentrasi bahan kimia digunakan untuk merangsang pertumbuhan sejenis tanaman tertentu selama periode waktu tertentu.  Data pertumbuhan berikut, dalam sentimeter, dicatat dari tanaman yang hidup.

Tabel 6.    Data pertumbuhan tanaman (cm)

Analisis Ragam

Langkah-langkah pengujian hipotesis untuk kasus di atas adalah sebagai berikut :

1. Model untuk kasus di atas  adalah
   Y_ij = μ + τ_i + ε_ij
   i =1,2,3,4 dan j = 1,2,…, r_i; dengan r_i adalah banyaknya ulangan untuk perlakuan ke-i
   dengan
   • Y_ij    = pertumbuhan tanaman (cm) ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i
   • μ     = mean populasi
   • τ_i     = pengaruh perlakuan ke-i
   • ε_ij    = pengaruh acak pada tanaman ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i .
2. Asumsi : lihat asumsi untuk model tetap
3. Hipotesis yang akan diuji:
   • H₀ : Semua τ_j = 0 atau tidak ada pengaruh perlakuan terhadap pertumbuhan tanaman.
   • H₁ : Tidak semua τ_j = 0;  atau minimal ada satu perlakuan yang mempengaruhi pertumbuhan tanaman.

Langkah-langkah perhitungan Analisis Ragam:

Langkah 1: Hitung Faktor Koreksi

 $$ FK=\frac{Y..^2}{\sum_{i=1}^{t}r_i}=\frac{181.6^2}{24}=1374.11$$

Langkah 2: Hitung Jumlah Kuadrat Total

 $$\begin{matrix}JKT=\sum_{i=1}^{t}\sum_{j=1}^{r_i}{Y_{ij}}^2-FK\\=8.2^2+8.8^2+...+7.0^2+6.5^2-1374.11\\=24.673\\\end{matrix}$$

Langkah 3: Hitung Jumlah Kuadrat Perlakuan

 $$\begin{matrix}JKP=\sum_{i=1}^{t}\frac{{Y_{i.}}^2}{r_i}-FK\\=\frac{44.8^2}{5}+\frac{49.2^2}{6}+\frac{46.9^2}{7}+\frac{40.7^2}{6}-1374.11\\=21.053\\\\\end{matrix}$$

Langkah 4: Hitung Jumlah Kuadrat Galat

 $$\begin{matrix}JKG=JKT-JKP=24.673-21.053\\=3.620\\\end{matrix}$$

Langkah 5: Buat Tabel Analisis Ragam beserta Nilai F-tabelnya

Tabel 7.    Analisis Ragam Pertumbuhan Tanaman

F_(0.05,3,20) = 3.098

F_(0.01,3,20) = 4.938

Langkah 6: Buat Kesimpulan

Karena Fhitung (38.768) > 3.098 maka kita tolak H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄ pada taraf kepercayaan 95%

Karena Fhitung (38.768) > 4.938 maka kita tolak H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄ pada taraf kepercayaan 99%

Hal ini berarti bahwa pada taraf kepercayaan 99%, minimal terdapat satu perlakuan yang berbeda dengan yang lainnya. 

Keterangan:

Biasanya, tanda bintang satu (*) diberikan,  apabila nilai F-hitung lebih besar dari F(0.05) dan tanda bintang dua (**) diberikan apabila nilai F-hitung lebih besar dari F(0.01)

Langkah 7: Hitung Koefisien Keragaman (KK)

 $$\begin{matrix}KK=\frac{\sqrt{KTG}}{\bar{Y}..}\times100\%=\frac{\sqrt{0.181}}{7.567}\times100\%\\=5.62\%\\\end{matrix}$$

Perbandingan Rataan (dengan menggunakan Uji LSD)

Pada contoh ini, pengujian perbedaan pasangan rata-rata di antara perlakuan dilakukan dengan menggunakan salah satu uji Post-Hoc, yaitu LSD.  Ppada kasus ini sebenarnya tidak tepat menggunakan LSD sebagai prosedur pengujian lanjut, mengapa? (lihat bahasan tentang pengujian perbedaan rata-rata perlakuan)

Tabel Analisis Ragam Pertumbuhan Tanaman

Tabel Rata-rata Pertumbuhan Tanaman

1. Hitung Nilai LSD_0.05
    $\begin{matrix}LSD=t_{0.05/2;20}\sqrt{KTG(\frac{1}{r_i}+\frac{1}{r_j})}\\LSD\ \ 1:\ \ (k_1\ \ vs\ \ k_2\ atau\ k_4)=2.09\times\sqrt{0.181(\frac{1}{5}+\frac{1}{6})}\\=0.538\\LSD\ \ 2:\ \ (k_1\ \ vs\ \ k_3)=2.09\times\sqrt{0.181(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})}\\=0.521\\LSD\ \ 3:\ \ (k_2\ atau\ k_4\ \ vs\ \ k_3)=2.09\times\sqrt{0.181(\frac{1}{6}+\frac{1}{7})}\\=0.495\\LSD\ \ 4:\ \ (k_2\ vs\ k_4)=2.09\times\sqrt{0.181(\frac{1}{6}+\frac{1}{6})}\\=0.513\\\end{matrix}$
2. Urutkan Rata-rata Perlakuan (dalam contoh ini rata-rata diurutkan dari kecil ke besar)
3. Kriteria pengujian:
   • Bandingkan nilai mutlak selisih kedua rata-rata yang akan kita lihat perbedaannya dengan nilai LSD dengan kriteria pengujian sebagai berikut:
   • $ Jika\ \ \left|\mu_i-\mu_j\right|\ \ \left\langle\ \ \begin{matrix}>LSD_{0.05}tolak\ H_0,\ kedua\ rata-rata\ berbeda\ nyata\\\le LSD_{0.05}tolak\ H_0,\ kedua\ rata-rata\ tidak\ berbeda\ nyata\\\end{matrix}\right.$
4. Hasil pengujian perbedaan pasangan rata-rata (pair wise comparisons) pada taraf nyata 5%