Slide: Akar Karakteristik

Definisi Akar Karakteristik

Jika A matriks ukuran n x n. Ada bilangan skalar A dan vektor V (non zero) sehingga memenuhi persa-maan:

AV = AV

Bilangan A disebut nilai karakteristik (nilai eigen) dari A dan vektor V disebut vektor karakteristik (vektor eigen) yang berkaitan dengan nilai karakteristik A.

Nilai karakteristik (A) dan vektor karakteristik (V) disebut akar karakteristik.

AV = XV

f

ai1 ai2

a

\

in

a21 a22

a

2n

V ani

a

n2

a

nn j

V1 Vi

V1 • • • = A V2 • • •

_Vn _ _Vn _

di mana :

/

A =

aii a aa

i2

a

\

in

2i 22

V ani an 2

a

2n

a

dan v

nn J

' Vi A

V vn j

AV = ^V : persamaan karakteristik A: nilai karakteristik matriks A V : vektor karakteristik matriks A

Dari persamaan : AV = XV maka,

AV - XV = 0

(A - AI )v = 0; I = matriks identitas

Notasi (A-AI)=0 adalah sistem persamaan linier homogen. Karena V merupakan solusi nontrivial, maka matriks persamaan linier homogen tersebut harus singular,

det (A - AI) = 0

Pernyataan tersebut menunjukkan bahwa det (A - AI) adalah polinomial derajat n dari A, dan disebut persamaan karakteristik.

Contoh 1.

Verifikasi bahwa vektor V adalah vektor karakteristik (vektor eigen) dari matriks A.

v =

f

-1 1

Solusi:

f

AV =

V

-2

r

A =

V

- 2

0 -1 -2 3 3 1 1

J

0 -1 - 3 2 3 3 1

1

\ f 11 f-2 ! f 1!

 -1 = 2 = (-2) -1

J V 1J v- 2 J V 1J

Nilai eigen

= ( - 2 )V

Jadi vektor V adalah vektor karakteristik (vektor eigen) dari matriks A, karena AV kelipatan dari V.

Contoh 2.

Verifikasi apakah vektor V1 dan V2 merupakan vektor karakteristik (vektor eigen) dari matriks A.

V =

6

- 5

V2 =

3 - 2

A =

1 6 52

Solusi:

AV1 =

"1 6" "6 " "- 24" = -4 "6 "

_5 2 _- 5_ 20 _ _- 5_

= -4V1

AV2 =

"1 6" "3 " = "- 9" "3 "

_5 2_ _- 2_ 11 _ _- 2_

Jadi vektor V^ adalah vektor karakteristik yang berkaitan dengan nilai karakteristik -4, sedangkan V2 bukan vektor karakteristik matriks A karena AV2 bukan kelipatan dari V2.

A =

Contoh 3.

Verifikasi bahwa 7 adalah nilai karakteristik (nilai eigen) dari matriks A dan tentukan vektor karakteristiknya.

1 6

J 2_

Solusi:

Skalar 7 adalah nilai karakteristik (nilai eigen) dari matriks A jika dan jika persamaan AV=7V mempunyai solusi non trivial. Persamaan karakteriksnya adalah (A-AJ)V=0,

A - 71 =

1 6 7 0 - 6 6

5 2 0 7 5 - 5

Jika V =

v

2

maka (A - 7/)V =

"- 6 6 " vi - 6v1 + 6v2 "0"

5 - 5 .V2 _ .5vi - 5v2 _ _0_

Penyelesaian sistem persamaan linier dengan OBE,

- 6 6 0 5 - 5 0

Solusi umum :

b2 +(5/6)b

- 6 6 0

0 0 0

-11 0"

0 0 0

(16)b1

v1 = v2

v2 adalah variabel bebas

Jadi vektor karakteristiknya : V =

1 1

Teknik Menghitung Akar

Karakteristik

Langkah-langkah menghitung akar karakteristik :

1. Selesaikan persamaan akar karakteristik dan determinannya.

2. Cari nilai karakteristik (2) dari persamaan :

det(A-^I)=0

dimana det(A) adalah determinan dari matriks A.

3. Setelah diperoleh nilai karakteristik (X) kemudian cari vektor karakteristik (V) dengan menggunakan persamaan karakterisrik :

(A-^I)V=0

Sifat penting dari nilai karakteristik (A):

1. Perka ian nilai karakteristik sama dengan nilai determinan matriks.

A x A2 x A3 x L x A = det (A)

2.Jumlah nilai karakteristik sama dengan nilai trace matriks.

A + A + A +-----+ A = tr (A)

3.Nilai karakteristik dari matriks diagonal adalah elemen pada diagonal utama, yaitu an, a22, a33 atau Au =au

A =

a11 0

0

a

22

0 0

0 0

a

33

 a11 0 0 A 0 0 — A 0 0

A— AI = 0 a22 0 - 0 A 0 = 0 a22 — A 0

 0 0 a33 0 0 A 0 0 a33 — A

4.Nilai karakteristik dari matriks segitiga atas (U)

adalah elemen pada diagonal utama, yaitu un, u22,

u

atau Ati =uii

 un ui2 u13

A= 0 u 22 u 23

 0 0 u33

33

 u11 u12 u13 A 0 0 un — A u12 u

A — AI = 0 u22 u 23 — 0 A 0 = 0 u22 — A u

 0 0 u33 0 0 A 0 0 u

13 23 33

5.Nilai karakteristik dari matriks segitiga bawah (L) adalah elemen pada diagonal utama, yaitu lu, l22, l33

atau Au =l„

A =

A -AI =

l11 0 0

l21 l22 0

l31 l32 l33 _

"lu 0 0 " "A 0 0

l21 l22 0 - 0 A 0

_l31 l32 l33 _ 0 0 A

l11 -A 0 0

l21 l- 22 A 0

l31 l32 l33 -A

Teknik Menghitung Akar Karakteristik

1. Faktorisasi Polinomial

2. QR faktorisasi

3. Algoritma Jacobi

4. Algoritma Rutishauser

Faktorisasi Polinomial

Akar karakteristik dihitung dari persamaan :

A - AI| = 0

 f a u 11 a12 • • • a1n ^ fA 0 ... 0 ^

A = a21 • • • a22 • • • • • • • • • a2 n • • • AI = 0 • • • A • • • L 0 • • • • • •

 V an1 an 2 • • • a t nn J V 0 0 L A J

 f a11 a12 • • • a1n ^ "A 0 • • • 0 "

A AI = a21 • • • a22 • • • • • • • • • a2 n • • • — 0 • • • A • • • • • • • • • 0 • • • = 0

 V an1 an 2 • • • a , nn J _ 0 0 • • • A_

A-Al| =

r

a11 — A a

21

a12 a22 - A

a

\

1n

a

2 n

V an1

a

n2

a_ — A

nn

j

= 0

(11 — A)aa22 — A) " (nn — A) + a12 ''

a2n (11 — A)-

an1 + a2 n

an 2 + a1na21

—a

a1n an 2

a21a12 — (ann — A\ " (22 — A) ' ' = 0

Nilai karakteristik (A) merupakan akar polinomial derajat n. Untuk n yang lebih besar dari 3, pemecahan secara faktorial sangat sulit dilakukan. Oleh karena itu menghitung akar karakteristik dengan teknik faktorisasi biasa dilakukan pada matriks ukuran 2x2 dan 3x3 :

A-AI

(

a11 a12

\

V a21

a

22 J

A0 0A

a11 — A a

21

a12 a22 - A

=0

(a11 — A)(a22 — A) — a21a12 = 0 (a11a22 — a11A — Aa22 + A2)— a21a12 = 0

A-AI

( a " 11 a ^ 12 'A 0 "

V a21 a22 ) _ 0 A_

a11 — A

a

21

ai2 a22 — A

= 0

(an — A)a22 —A)—a2au = 0

A2 — (an + a22 )A + (ana22 — a21a12 )= 0

 ( a u 11 a12 a \ 13 'A 0 0 " ' a11 — A a12 a13

A-AI = a21 a22 a23 — 0 A 0 = a21 a22 — A a23 =0

 V a31 a32 a33 ) 0 0 A _ a31 a32 a33 — A _

( A)) A)( A )

10^11 A M a22 A Magg I I 0-12^^23 ^^31 I 0^13 ^^21^^32

— a31 (a22 — A)a13 — a, a, ( — A)-( — A)an = 0

— A3 +(( + a22 + a33 ) —(aHa22 + a22 a33 + a33 au — a12 a21 — a, a, — an a„ )A

I ( ana23^32 a1221 ^^33 a^13^^31 aa22 I aa22^^33 I a^12aa23^^31 I a^1321 ^^32) 00

Contoh 1.

Hitung nilai karakteristik dan vektor karakteristik dari,

Solusi

r

a =

V

3 4 — 1 7

\

J

det( a — Ai) =

3 — A

4

— 1 7 — A

= 0

A —(a11 + a22 )A + (a11a22 — a21a12 )= 0

A2 —(3 + 7 )A + (3 x 7 — (—1x 4) ) = 0

A2 —(10 )A + (21 — (—4) ) = 0

A2 — 10A + 25 = 0 «(A — 5)A — 5) = 0

Pemecahan dari polinomial tersebut diperoleh nilai karakteristik yaitu : A1 = 5 dan A2 = 5

Vektor karakteristik (V) : (A-AI)V=0 untuk,

Ai = A2 = 5

(A — 5I )V =

3 4 — 1 7

\

J

r

V

5 0 0 5

V

V V2 J

f— 2 4 v —1 2

J

= 0

V V2 J

Atau, — 2v1 + 4v2 = 0

— v1 + 2v2 = 0

Misalnya untuk v

2

= 1, maka v1 = 2, jadi

( 2 ^ V1 = i

VJ

Contoh 2.

Hitung nilai karakteristik dan vektor karakteristik dari,

Solusi

A =

3 2 1 2

A — AI =

3 — A 2 1 2 — A

det( a — Ai) =

3—A 2

1

2—A

= 0

det( A — AI) = (3 — A)(2 — A) — 2 x 1 = A2 — 5A + 4 = 0 A2 — 5A + 4 = 0 atau (A — 4)(A — 1) = 0

Pemecahan dari polinomial tersebut diperoleh nilai karakteristik yaitu : A1 = 4 dan A2 = 1

Vektor karakteristik (V) : (A-M)V=0 untuk,

^ = 4 (A - 41 )V = 0

- v1 + 2V2 = 0 v1 - 2v2 = 0

^ = 1

"-1 2 " v1

1 - 2 _v2 _

= 0 atau

v1 = 2v2 ^ untuk v2 = 1, maka v1 = 2, jadi V1 =

(A -1)V = 0

2 1

" 2 2" v1 2v1 + 2v2 =0

1 1 = 0 atau

 _v2 _ v1 + v2 =0

v1 = -v2 ^ untuk v2 = 1, maka v1 = -1, jadi V2 =

-1 1

Contoh 3.

Hitung nilai karakteristik dan vektor karakteristik dari,

A =

2 4 4 — 4

A — AI =

2 — A 4

4

— 4 — A

Solusi

det( a — Ai) =

2 — A 4

4

— 4 — A

= 0

det(A — AI) = (2 — A)(—4 — A) — 4 x 4 = A212A — 24 = 0 A2 i 2A — 24 = 0 atau (A + 6)(A — 4) = 0

Pemecahan dari polinomial tersebut diperoleh nilai karakteristik yaitu : A, = -6 dan A2 = 4

Vektor karakteristik (V) : (A-AI)V=0 untuk,

= -6 (A + 61 )V = 0

" 8 10" v1 8v1 + 10v2 = 0

 = 0 atau

10 2 _V2 _ 10v1 + 2v2 = 0

v =

-5 v2 ^ untuk v2 = 4.

4 2 2

1

maka v1 = -5, jadi V1 =

v1 = — v2 ^ untuk v2 = 5, maka v1 = -1, jadi V2 = 5

-5

4

-1"

5

^ = 4 (A - 41 )V = 0

"- 2 0 " v1

0 - 8 _V2 _

= 0 atau

- 2v1

- 8v

2

0 0

 "0"

Maka v, = 0 dan v2 = 0, jadi V3 = _0_

Contoh 4.

Hitung nilai karakteristik dan vektor karakteristik dari,

 ( 1 2 n

A = 6 -1 0

 v— 1 -2 —1)

Solusi

det( A — AI) =

1 — A 2 1 6 — 1 — A 0

—1 — 2 —1 —A

= 0

— A +( + a22 + a33 )A2 —(ana22 + a22 a33 + a33 an — a12 a21 — a, a32 — a13 a„ )A

I ( ^^23 ^32 a1221 ^^33 ^^31 aa22 I aa22^^33 I a^12aa23 ^^31 I 21 ^^32) 00

— A3 +(1 — 1 — 1) —((1x—1) + (—1x—1) + (—1x 1) — 2 x 6 — 0 x—2 — (—1x1) )A + (-(1x 0 x- 2)-(2 x 6 x—1) — (1x—1x—1) + (1x—1x—1) + (2 x 0 x—1) + (1x 6 x—2) )= 0

-A3 +(- 1)A2-((-1) + (1) + (-1) -12 - 0 - (-1) )A + (- (0) - (-12) - (1) + (1) + (0) + (-12) )= 0

-A3 -A2 -(12)A + (0) = 0 -A3 -A2 - 12A = 0 -A3 -A2 - 12A = 0A(A + 4)(A-3) = 0

Pemecahan dari polinomial tersebut diperoleh nilai karakteristik yaitu : A! = 0, A2 = -4, dan A3 = 3.

Vektor karakteristik (V) : (A-AI)V=0, untuk,

(i) A1 = 0,

 1 2 1 01 -6 Rj+R2 R, + R3 r 1 2 1 01

0110) = 6 -1 0 0 0 -13 ? -6 0

 V- 1 - 2 -1 0, V 0 0 0 0,

- X3 R2 '1 2 1 01 - 2 R2 +R1 r 1 0 1 13 0 1

 0 1 6 /13 0 0 1 6 13 0

 v0 0 0 0, V 0 0 0 0,

f

1 6

v1 =--v3 , v2 =--v3

1 13 3 2 13 3

Untuk v3 = -13, maka V1 =

(ii) A2 = -4,

(A + 4110) =

r

5

6

2 1 3 0

V

— 1 — 2 3

0 ^

0 0

R3

f

r

13

1 2 — 3

63

V

5

% R3 ' 1

0

2

2 1

0 1

— 3

— 2

0\ — 6R+R2 r 0

—5 r + r3

V

0 1 — 2

0

0 ^

0 0

V

—2 r2+r3

V

0 6

—13/

1 2 —3 0

0 —9 18 0

0 — 8 16 0

1 0 1 0

0 1 —2 0

V 0 0 0 0

A

)

Atau v1 = -v3 , v2 = 2v3. Untuk v3 = 1, maka V2 =

(iii) A2 = 3,

r-11 2

v b

 f- 2 2 1 01 operasi baris r 1 0 1 01

(A - 3I | 0) = 6 - 4 0 0 0 1 0

 v- 1 -2 -4 0 , V 0 0 0 0 ,

Atau v1 = - v3, v2 = -(3/2)v3. Untuk v3 = -2, maka

r 21

V3 =

3

v- 2z

Contoh 5.

Hitung nilai karakteristik dan vektor karakteristik dari,

2 1 1

A =

V

1 4 1 1 1 1

)

Solusi

det( A — AI) =

2 — A

1

1 4 — A

1

1

1 1

2 — A

= 0

(2 — A)4 (9 — A)(9

(2 — a)8

(16 — 20A + 8A2 —A3)+ 3 A — 6 = 0

A)2 — A)+1 +1 — (2 — A)—(4 — A)—(2 — A) = 0 A)(9 — A)—(8 — 3A)+ 2 = 0 6A + A2)— 8 + 3A + 2 = 0

-a3+8A2-\1A+10 = 0 atau -(a-5(a-2)(a- 1)=0

Pemecahan dari polinomial tersebut diperoleh nilai karakteristik yaitu : a, = 5, a2 = 2, dan A,3 = 1.

Vektor karakteristik (V) : (A-XI)V=0, untuk, (i) = 5, menggunakan eliminasi Gauss Jordan,

 3 1 1 o 1 r 1 0 -1 01

(A - 5110) = 1 -1 1 0 0 1 - 2 0

 v 1 1 - 3 0, v 0 0 0 0,

Atau v1 = v3, v2 = 2v3. Jika v3 = 1, maka

Vi =

3

r 1 1 2

(ii) =2,

 r 0 1 1 01 r1 0 -1 01

(A - 2I | 0)3 = 1 2 1 0 0 1 1 0

 V 1 1 0 0 j V 0 0 0 0 J

Atau v1 = v3 dan v2= -v3, misalnya : v3 = 1, maka V2 =

(iii) ^3=1,

r

-1 1

 r1 1 1 01 r1 0 12 01

(A -110)3 = 1 3 1 0 0 1 12 0

 V1 1 1 0 J V0 0 0 0,

Jadi v1 = -%v3 dan v2= -^v3, misalnya : v3 = 2, maka V3 =

-1

v 2y

Contoh 6.

Hitung nilai karakteristik dan vektor karakteristik dari,

A =

3 1 0 0 1 0

4 2 1

Solusi

 3 1 0 1 0 0 3 -a 1 0

a-ai = 0 1 0 -a 0 1 0 = 01 -a 0

 4 2 1 0 0 1 4 2 1 -a

det (A - ai) =

3-a 1 0 01 -a 0 4 2 1 -a

= (3 -a((1 -a((1 -a)+1 • 0 • 4+0 • 0 • 2 - 4-(1 -a)-0-(3-a)-2 • 0-(1 -a)-0-1

= -(a-1)2 (a-3)=0

Pemecahan dari polinomial tersebut diperoleh nilai karakteristik yaitu : ^ = 1, = 1, dan = 3.

Vektor karakteristik (V) : (A-M)V=0, untuk,

(i) = ^2 =1, menggunakan eliminasi Gauss Jordan,

(A -110) =

f 2 1 0 o 1 f 2 1 0 01

0 0 0 0 0 0 0 0

v 4 2 0 0, v 0 0 0 0,

Atau v1 = -%v2 dan v3 = 0. Jika v2 = 2, maka v1 = -1 jadi :

Vj =

-1

2

(ii) = 3,

 ' 0 1 0 01 R1 = R3 4 2 - 2 01

(A - 3110) = 0 - 2 0 0 0 - 2 0 0

 v4 2 - 2 0, v 0 1 0 0,

R1+R2 R3 +1/2 R2 4 0 - 2 0 ' 14 R1 -1/2 R2 ' 1 0 - 12 01

 0 - 2 0 0 0 1 0 0

 v0 0 0 0, v 0 0 0 0,

Atau v1 =1V v3 dan v2 = 0, jika v3 = 2, maka v, jadi :

= 1,

v2 =

0

v2y

QR Faktorisasi

Teknik QR Faktorisasi dapat digunakan untuk menemukan nilai karakteristik (nilai eigen).

Teknik tersebut menggunakan iterasi dari transformasi Householder (similaritas) untuk menemukan matriks A(k+1) equivalen dengan A. Elemen diagonal utama matriks A(k+1) adalah nilai karakteristik matriks A.

Bentuk QR faktorisasi :

A = Q*R

• Menghasilkan matriks ortogonal ("Q") dan matriks segi tiga atas ("R").

@

Invers dari matriks ortogonal adalah transpose-nya.

Q "7 = Q

Elemen diagonal utama a{i dari matriks segi tiga atas A(k+1) adalah nilai-nilai karakteristik.

A

(k+1) _

a

(k)

*

*

11 0

a

(k)

*

*

22

0 0

a

(k)

*

n-1, n-1

0

0

a

(k)

nn

Langkah-langkah Menggunakan Q dan R untuk Menemukan Nilai Karakteristik.

1. Faktorisasi A menjadi matriks Q dan R (A = Q*R)

T

Menggunakan Reflektor Householder : Q = I - 2ww

2. Tentukan matriks A(k+1> = R*Q (matriks baru)

3. Faktorisasi A(k+1 menjadi matriks Q dan R (Ak+1 = Q*R)

4. Lakukan secara berulang langkah 1 s/d 3 (iterasi) sampai diperoleh A(k+1) yang konvergen.

5. Elemen diagonal utama A(k+1) adalah pendekatan nilai karakteristik.

Catatan: QR Faktorisasi dapat memberikan nilai karakteristik secara simultan.

Iterasi QR Faktorisasi

R(0) = A = Q(1>R(1)

H(1) = I - 2 w1w1T Q(1)

r (i) = h (1) R (0> = H(1) A H(2) = I - 2 w2 w/ R(2) = H(2) R(1) = H(2) H(1) A dst. = q(2^r(2> a(3) = r(2>q(2> 'a(3) = q(3>r(3>

Q = H(1) H(2) a(4> = r(3)q(3)

R = R(2) QR = {H(1) H(2) }{H(2) H(1) A} = A A( k+1) = RQ (transformasi similaritas) Secara umum : A(k) = Q(k) R(k) (asal) A = QR R = Q" 1A = QrA A^+1> = RQ

A(k+1) = R(k )Q(k) (baru) A^+1> = QrAwQ

Transformasi Householder.

Matriks Householder (H) mengurangi zk+1 ,.. .,znmenjadi nol

rn

H=I-2ww

v x - y

w =

X =

V

2

x - y

2

a11 au " 0

a21 L 0

L ak1 ...

ak1 ; y = -a ; v = x - y = ak 1 +a

a( k +1)1 0 a( k+1)1

. .. 0 L

_ an1 _ 0 _ an1

a = sign(ati) g g = ^(au )2 + (a21 )2 + L + (ak1 )2 + L + (am

s =

x - y

V

^ s

= (ak 1 + a)2 + a2

(k+1)1

+

' + a«1 = g2 + 2a(ak1 )+a' = g2 + 2a(Xk1) + g:

s =

pg2+2a

a

k1

X

k1

j

2

2

V 1

w = — = — s s

0 0

akl+a

a

(£+1)1

a

H=/-2ww

t

n\

.t

= I[o 0

H =

1 0

0 1

• ... •

0 0

0 0

• . . .

0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

0 0

0 0

a

k\

a,

(^+1)1

a

n\

ak\ + a a(k+1)1

0

ak\ + a a(k+1)1

Menentukan Matriks Householder (H)

Tahap 1. Tentukan vektor: x^ , x2 , • • •, x

k-1

Tahap 2. Hitung

Tahap 3. Hitung

Tahap 4. Tentukan

.2

.2

2

g = v ak i+a( k+1)1+-+am a = sign(ak 1 )g s2 =(ak 1 +a)2 + a2

(k+1)1 + + an1

= g2 + 2a(ak 1 )+a2 = g2 + 2a(xk 1)+ g2

s = V2 g2+2aK 1=V2 g (g+iak 1 |)

wk = (ak 1+a) 1s = (ak 1+sign(ak 1 )g) 1s; wi = aal s, i = k +1, k + 2, — n

w =1 [o 0 —

ak 1 + a a( k+1)1

r

Contoh 1.

Hitung nilai karakteristik matriks berikut, A =

Solusi

Iterasi 1.

v

X! = ^(.-,1) =

J

r 3 1 A =010 4 2 1

g = J a\x + a^2 + a32j = ^32 + 02 + (4)2 = V25 = 5 a = sign(au )g = + (5) = 5

s = 7 2 g (g + |an |) = V 2 x 5(5 + 3) = V8q = 4V5

w = w(1) =-

s

= 1 [0 0 L

ak 1 + a a( k+1)1

w = w(1)

= [3 + 5 0 4] = [8 0

4V5 4V5

3 0

4

a

4

n1

T

r

^3 1 0^

0 1 0

4 2 1

v A v

H(1) = I - 2wwT

10 0 0 10- 2 0 0 1

H(1) =

(4V5):

8 0 4

[8 0 4]

 1 0 0 1 64 0 32 1 0 0 1.6 0 0.8 - 0.6 0 - 0.8

H(1) = 0 1 0 1 0 0 0 = 0 1 0 - 0 0 0 = 0 1 0

 40

 0 0 1 32 0 16 0 0 1 0.8 0 0.4 - 0.8 0 0.6

 - 0.6 0 - 0.8 3 1 0 - 5 -2.2

H(1) A = 0 1 0 0 1 0 = 0 1

 0.8 0 0.6 4 2 1 0 0.4

0 0.6

g = 7a222 + a322 = ^ 12 + (0.4)2 = VTT16 = 1.077 a = sign(a22 )g = + (1.077) = 1.077

s = V 2 g (g + |a22|) = V2 x 1.077(1.077 +1) = V 4.474

1

w

(2)

=1 [0 0 .

ak 1 + a a( k+1)1

a

n1

w(2) =

1

V4.474

[0 1 +1.077 0.4] =

1

V4.474

[0 2.077 0.4]

H(2) = I - 2ww

T

H(2) =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

-2

(V4.474)

0

2.077 0.4

[0 2.077 0.4]

H(2) =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 1.928 0.371 0 0.371 0.072

1 0 0 0 -0.928 -0.371 0 -0.371 0.928

 1 0 0 - 0.6 0 - 0.8 3 1 0

R (1) = H(2) H(1) A = 0 -0.928 - 0.371 0 1 0 0 1 0

 0 -0.371 0.928 0.8 0 0.6 4 2 1

- 5 -2.2 -0.8

0 -1.077 -0.233

0 0 0.447

1

Q « = H(1) H(2) =

A(1) = R (1)Q(1) =

- 0.6 0 - 0.8

0 1 0

0.8 0 0.6

- 5 - 2.2

1

0

0

0 - 0.928 - 0.371 0 - 0.371 0.928

-0.6 0.297 -0.743 0 -1.077 -0.371 -0.8 -0.124 0.557

- 0.8

0 -1.077 - 0.233

0

3.640 0.178

0

0.447

- 0.6 0.297 - 0.743 0 -1.077 - 0.371 -0.8 -0.124 0.557

0.735 4.085 1.050 0.276

-0.446 -0.124 0.310

Iterasi 2.

r

A(1) =

3.640 0.178

0.735 4.085^

1.050 0.276

v- 0.446 - 0.124 0.310y

Xi

= a(-»1)=

3.640 0.178 -0.446

g a

= 7 a2 + a222 + a32, = ^3.6402 + 0.1782 + (-0.446)2 = V13.484 = 3.672

= sign(au )g = + (3.672) = 3.672

5 = 7 2 g (g + |aH |) = 72 X 3.672(3.672 + 3.640) = V53.685 = 7.327

w = w(1) =-

5

=1 [o 0 L

ak 1 + a a( k+1)1

a

n1

r

w = w(1) =

—[3.640 + 3.672 0.178 - 0.4461

7.327L J

—[7.312 0.178 - 0.446] 7.327

H(1) = I - 2 ww

T

H(1) =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

- 2-

1

(7.327)'

7.312 0.178 - 0.446

[7.312 0.178 - 0.446]

H(1) =

- 0.991 - 0.049 0.121

- 0.049 0.999 0.003 0.121 0.003 0.993

H(1) A(1) =

- 0.991 - 0.049 0.121

- 0.049 0.999 0.003 0.121 0.003 0.993

3.640 0.735 4.085 0.178 1.050 0.276 -0.446 -0.124 0.310

-3.672 -0.795 -4.026

0 0

0.078

0.805

g

= Va22 + a32 =

7(1.012 )2 + (-0.031)2 = V1.025 = 1.013

a = sign(a22 )g = +(1.013) = 1.013

s =

p g (g + |a221) = V 2 x 1.013(1.013 +1.012) = V 4.101 = 2.025

w(2) = -

s

1 [0 0 L

ak 1 + a a( k+1)1

a

n1

r

w(2) =

—[0 1.012 +1.013 - 0.031] =—1— [0 2.025 2.025 J 2.025L

- 0.031]

H(2) = I - 2wwT

H(2) =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

- 2-

1

(2.025)

0

2.025 - 0.031

 1 0 0 "0 0 0 "1 0 0

H(2) = 0 1 0 - 0 2 - 0.03 = 0 -1 0.03

 0 0 1 0 - 0.03 0 0 0.03 1

r 2 = H(2) H(1) A

10 0 " 0 -1 0.03 0 0.03 1

- 0.991 - 0.049 0.121

- 0.049 0.999 0.003 0.121 0.003 0.993

- 3.672 - 0.795 - 4.026

0 -1.013 -0.054

0 0 0.807

Q ^ = H(1) H(2)

"- 0.991 - 0.049 0.121' - 0.049 0.999 0.003 0.121 0.003 0.993

[0 2.025 - 0.031]

3.640 0.178

-0.446 -0.124 0.310

0.735 4.085 1.050 0.276

1 0 0 0 -1 0.03 0 0.03 1

-0.991 0.052 0.120 -0.049 -0.998 0.033 0.121 0.027 0.992

Q (2) = H(1) H(2)

- 0.991 - 0.049 0.121

- 0.049 0.999 0.003 0.121 0.003 0.993

10

0

0 -1 0.03 0 0.03 1

-0.991 0.052 0.120 -0.043 -0.998 0.033 0.098 0.027 0.992

A(2) = R (2)Q(2) =

- 3.672 - 0.795 - 4.026 0 -1.013 - 0.054

0

0

0.807

3.190 0.492 -4.461 0.043 1.010 -0.087 0.098 -0.124 0.800

-0.991 0.052 0.120 -0.049 -0.998 0.033 0.121 0.027 0.992

Iterasi 3 dan seterusnya dapat dilakukan seperti iterasi 1 dan 2 hingga konvergen dan akan diperoleh nilai A(3), A(4), A(n), dimana n banyaknya iterasi. Nilai karakteristik adalah elemen pada diagonal utama matriks A(n).

a(3) =

3.061 0.434 4.534 0.013 1.003 0.028 - 0.029 - 0.006 0.800

A(5) =

3.007 0.411 4.561 0.001 1.000 0.003 -0.003 -0.001 0.993

a(7) =

3.001 0.409 4.561 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 0.999

a(4) =

a(6) =

a(8) =

3.020 0.417 -4.544

0.004 1.001 -0.009

0.009 0.002 0.979

3.002 0.409 -4.563

0.000 1.000 -0.001

0.001 0.000 0.998

0.409 - 4.563"

0.000 (1.000) 0.000

0.000 0.000 1.000

Jadi nilai karateristiknya :

^=3

X2=1

^3=1

(Lihat contoh 6 pada teknik faktorisasi polinomial).

Contoh 2.

Hitung nilai karakteristik matriks berikut, A =

Solusi

Iterasi 1.

'2 1

V

1

A =

'2 1 1 4 1

V

x,

= A(:,1) =

v

2 1 1

1 1 2

g = -y/ a2 + a222 + a32, = V 22 +12 +12 = V6 = 2.449 a = sign(an )g = +(2.449) = 2.449

s = 7 2 g ( + |a111) = V2 x 2.449(2.449 + 9) = V21.799 = 4.669

r

w = w1" =-

s

= 1 [0 0 L

ak! + a a( k+1)1

a

n1

w = w(1) = —[2 + 2.449 1 1]T = —[4.449 1

1 0 4 1 12

4.669

4.669

1]T

H(1) = I - 2wwT

10 0 0 10- 2 0 0 1

H(1) =

1

(4.669)'

4.449 1 1

[4.449 1 1]

 1 0 0 1.816 0.408 0.408 - 0.816 -0.408 -0.408

H(1) = 0 1 0 - 0.408 0.092 0.092 = - 0.408 0.908 -0.092

 0 0 1 0.408 0.092 0.092 - 0.408 -0.092 0.908

 - 0.816 -0.408 - 0.408 2 1 1 - 2.449 -2.858 -2.041

H(1) A = - 0.408 0.908 - 0.092 1 4 1 = 0 3.133 0.316

 - 0.408 -0.092 0.908 1 1 2 0 0.133 1.316

g = 7022+0^ = V(3.133)2 + (0.133)2 = V9.834 = 3.136 a = sign(a22 )g = + (3.136) = 3.136

s = V 2 g (g + |a22|) = V2 x 3.136(3.136 + 3.133) = V39.313 = 6.270

@

w

(2)

=1 [0 0 L

s

ak 1 + a a( k+1)1

a

n1

]]

w(2) =

—[0 3.133 + 3.136 0.133] =—1— [0 6.269 0.133] 6.270 6.270

H(2) = I - 2ww

T

H(2) =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

-2

1

(6.270)

0

6.269 0.133

[0 6.269 0.133]

 1 0 0 0 0 0 1 0 0

H(2) = 0 1 0 - 0 1.999 0.042 = 0 -0.999 -0.042

 0 0 1 0 0.042 0.001 0 -0.042 0.999

 "1 0 0 " "-0.816 -0.408 - 0.408" "2 1 1"

R (1) = H(2) H(1) A = 0 -0.999 - 0.042 - 0.408 0.908 - 0.092 1 4 1

 0 -0.042 0.999 - 0.408 -0.092 0.908 1 1 2

-2.449 -2.858 -2.041 0 - 3.136 - 0.372 0 0 1.302

Q

(1) = h (1) H(2) =

- 0.816 - 0.408 - 0.408

- 0.408 0.908 - 0.092

- 0.408 - 0.092 0.908

0

0

A(1) = R (1)Q(1) =

0 0

- 2.449 - 2.858 - 2.041" 0 - 3.136 - 0.372

0.999 -0.042 0.042 0.999

- 0.816 0.425 - 0.391

- 0.408 - 0.904 - 0.130 0.408 0.053 0.911

0

0

1.302

-0.816 0.425 -0.391 -0.408 -0.904 -0.130 -0.408 0.053 0.911

4.000 1.432 -0.531 1.432 2.814 0.069 -0.531 0.069 1.186

Iterasi 2 dan seterusnya dapat dilakukan seperti iterasi 1 hingga konvergen dan akan diperoleh nilai A(2), A(3), ..., A(n), dimana n banyaknya iterasi. Nilai karakteristik adalah elemen pada diagonal utama matriks A(n).

a(2) =

4.836 0.682 0.132 0.682 2.122 - 0.170 0.132 -0.170 1.042

A(3) =

4.975 0.273 -0.027 0.273 2.015 0.099 -0.027 0.099 1.010

1

a(4) =

a(6) =

4.996 0.109 0.006

0.109 2.001 - 0.051

0.006 - 0.051 1.003

5.000 0.017 0.000

0.017 2.000 -0.013

0.000 -0.013 1.000

A(5) =

4.999 0.043 -0.001 0.043 2.000 0.025 -0.001 0.025 1.001

a(7) =

5.000 0.006 0.000 0.006 2.000 0.006 0.000 0.006 1.000

Jadi nilai karateristiknya : ^1=5, =2, ^3=1

(Lihat contoh 5pada teknik faktorisasipolinomial).

Algoritma Jacobi

Algoritma Jacobi dapat digunakan untuk menemukan nilai karakteristik (nilai eigen). Algoritma Jacobi menggunakan iterasi dari transformasi ortogonal (similaritas) untuk menemukan matriks Ak+1 yang equivalen dengan A. Elemen-elemen diagonal utama matriks Ak+1 adalah nilai karakteristik matriks A.

Jika A=A0 matriks asal dan U adalah matriks ortogonal, maka :

A1 = U1-1 A0U1 Bentuk Umum : di mana :

A2 = U2-1 A1U2 Ak+1 = U-+1 AkUk+1 Uk+1Uk+1 = I

l dst

Invers dari matriks ortogonal Uk+1 adalah transpose-nya.

Elemen diagonal utama (a«) dari matriks Ak+1 adalah nilai-nilai karakteristik (A,).

Ak+1 =

a

(k)

*

*

11 *

a

(k)

*

*

22

*

* *

a

(k)

*

n-1, n-1 *

a

(k)

nn

Vektor karakteristik (vektor eigen) diperoleh dari perkalian matriks-matriks rotasi U, :

v = UU2 LUk

Menentukan Matriks Rotasi U

k+1

Matriks rotasi Uk+1 diperoleh dari dari matriks identitas (I) dimana elemen baris ke-i dan baris ke-j maupun kolom ke-i dan kolom ke-j diganti dengan

Cosa dan Sina .

uk+i =

10 01

00 00

00 00

/

0

0

0 0

0 0

cosa - sin a sin a cosa

0 0

00 00

00 00

10 01

Di mana :

u ii = cosa u = - j -sin a

u ji = sina u = jj cos a

Sudut a diperoleh dari

aij = elemen martiks A baris / dan kolom j

/

Contoh 1.

Hitung nilai karakteristik matriks berikut, A =

/

V

3 1 0 0 1 0

4 2 1

J

Solusi

Rotasi 1.

a). Meng - nol - kan elemen a12 dan a21 , i = 1 dan j = 2 (k = 0).

a^j 3, 1, 0^22 1

2af)

tg 2a =

a(k) - a(k)

" jj

1

2

2aj

1

atau a = — arctg (k (k) =—arctg

( ) ( ) 2

a ' - av

n jj

( 2x1

V 3-1J

= 22.5

u11 = cosa = cos(22.5) = 0.924 u12 = - sin a = - sin(22.5) = -0.383

u21 = sin a = sin(22.5) = 0.383 u22 = cos a = cos(22.5) = 0.924

U =

cosa - sina 0 sina cosa 0 0 0 1

0.924 - 0.383 0 0.383 0.924 0 0 0 1

U1-1 = (ut )=

Jadi, A1 = U11A0U1

0.924 - 0.383 0

0.383 0.924 0

0 0 1

-1

T

0.924 0.383 0 -0.383 0.924 0

0

0

 0.924 0.383 0 3 1 0

A = - 0.383 0.924 0 0 1 0

 0 0 1 4 2 1J

 " 3.061 0.146 0"

= - 0.854 0.939 0

 4.461 0.317 1

0.924 - 0.383 0 0.383 0.924 0 0 0 1

1

b). Meng - nol - kan elemen a13 dan a31 , i = 1 dan j = 3 a11 = 3.061,

a33 1

Tidak diperlu dilakukan karena elemen a13 sudah nol.

c). Meng - nol - kan elemen a23 dan a32 , i = 2 dan j = 3

V a33 = 1

a22 = 0.939 a

Tidak diperlu dilakukan karena elemen a23 sudah nol.

Rotasi 2.

a). Meng - nol - kan elemen a12 dan a21 , i = 1 dan j = 2 (k = 1) a11 = 3.061, a12 = 0.146, a99 = 0.939

1 2aj) 1 ( 2 x 0.146

a = — arctg (k) J (k) ^ arctg

\

2

a ' - a

n JJ

2

V

3.061 - 0.939

= 3.953

J

u11 = cosa = cos(3.953) = 0.998 u21 = sin a = sin(3.953) = 0.069

u12 = - sin a = - sin(3.953) = -0.069 u22 = cos a = cos(3.953) = 0.998

U 2 =

cosa - sina 0

sina cosa 0

0 0 1

 T0.998 _

U 2 -1 =(U T ) =

0.069 0

0.998 0

0

0.998 - 0.069 0 0.069 0.998 0 0 0 1

0.998 0.069 - 0.069 0.998 0

1

T

0

0 0 1

Jadi,

A =

A2 = U 2 A1U2

0.998 0.069 0^ - 0.069 0.998 0

0

0

1

3.061 0.146 0 - 0.854 0.939 0 4.461 0.317 1

0.998 -0.069 0 0.069 0.998 0 0 0 1

3.002 0.005 0 -0.995 0.998 0

4.472 0.010 1

b). Meng - nol - kan elemen a13 dan a31 , i = 1 dan j = 3 a11 = 3.002,

a33 = 1

Tidak diperlu dilakukan karena elemen a13 sudah nol. c). Meng - nol - kan elemen a23 dan a32 , i = 2 dan j = 3

a22 = 0.998

0, a33 = 1

Tidak diperlu dilakukan karena elemen a23 sudah nol.

Rotas/ 3.

a). Meng - nol - kan elemen a12 dan a21 , i = 1 dan j = 2 (k = 2)

a,, = 3.002, a12 = 0.005, a„ = 0.998 1

11 ^22

(k) 1 ( 2 X 0.005

m = ~ arctg

2a;

a = — arctg

2 5 a(k) - a:;

\

//

jj

2

= 0.115

v 3.002 - 0.998 ,

u12 = - sin a = - sin(0.115) = -0.002

u11 = cosa = cos(0.115) = 1 u21 = sin a = sin(0.115) = 0.002 u22 = cos a = cos(0.115) = 1

 cos a - sin a 0 " 1 - 0.002 0"

U3 = sin a cos a 0 = 0.002 1 0

 0 0 1 0 0 1

U 3-1 =(u[ ) =

1

0.002 0

- 0.002 0

1 0

0 1

T

1

-0.002 0

0.002 0

1 0

0 1

Jadi,

A =

A3 = U3 A2U3 1 0.002 0' -0.002 1 0

1

3.002 0.005 0 - 0.995 0.998 0 4.472 0.010 1

1

0.002 0

-0.002 0

1 0

00 0 0"

-©A

4.472 0 0^

Jadi nilai karateristiknya : =3, =1, dan

(Lihat contoh-contoh sebelumnya).

0 1

= 1

Contoh 2.

Hitung nilai karakteristik matriks berikut, A =

Solusi

Rotas/1.

'2 1

V

1

1 0 4 1 12

a). Meng - nol - kan elemen a12 dan a21 , i = 1 dan j = 2 (k = 0). a11 = 2 , a12 = 1, a22 = 4

2a*k)

tg 2a =

(k)

1 ( 2 x 1

a{k) - a(k)

ii jj

1 2a;

atau a = - arctg ——(k) = 2 arctg

2 an - ajj 2

V 2 - 4 y

= -22.5

u11 = cosa = cos(-22.5) = 0.924 u12 = - sin a = - sin(-22.5) = 0.383

u21 = sina = sin(-22.5) = -0.383 u22 = cos a = cos(-22.5) = 0.924

cos a - sin a 0 sina cosa 0 0 0 1

0.924 -0.383 0

1.586 0 0.541 0 4.414 1.307 0.451 1.307 2

 " 0.924 0.383 oT

u; -0.383 0.924 0

 0 0 1

Jadi, 4 = u~xxA,ux

 "0.924 - 0.383 0" "3 1 ol

A = 0.383 0.924 0 0 1 0

 0 0 1 4 2 1

0.383 0 0.924 0 0 1

0.924 -0.383 0 0.383 0.924 0 0 0 1

0.924 0.383 0 -0.383 0.924 0 0 0 1

b). Meng - nol - kan elemen a13 dan a31 , i = 1 dan j = 3 (k = 1). a11 = 1.586, a13 = 0.541, a33 = 2

,(k)

1 2aj

a = — arctg ...

2 a(k) - a-;;

1 ( 2 x 0.54O

(TT = T arctg

11

JJ

2

V

1.586 - 2

= -34.4

J

u11 = cosa = cos(-34.4) = 0.824 u13 =- sin a = - sin(-34.4) = 0.567

u31 = sin a = sin(-34.4) = - 0.567 u33 = cos a = cos(-34.4) = 0.824

U 2 =

cos a 0 - sin a 0 1 0 sin a 0 cos a

0.824 0 0.567

0

1

0

-0.567 0 0.824

U 2-1 =(U [ ) =

0.824 0 0.567

0

1

0

- 0.567 0 0.824

T

0.824 0 - 0.567 0 1 0 0.567 0 0.824

Jadi, 4 = U2-1 A1U2

0 - 0.567"

A2 =

0.824 0

0.567

1 0 0 0.824

1.586 0

0.451

0 0.541 4.414 1.307 1.307 2

0.824 0

-0.567

0 0.567 10 0 0.824

1.213 - 0.741 0 -0.741 4.414 1.076

0

1.076 2.372

c). Meng - nol - kan elemen a23 dan a32 , i = 2 dan j = 3 (k = 2).

a22 = 4.414 a23 = 1.076, a33 = 2.372

23

33

1

a = — arctg

2aj

(k)

2 ^ a(k) - a(k)

11

JJ

1 (

= — arctg 2 %

2 x 1.076 4.414 - 2.372

= 23.2

J

u22 = cosa = cos(23.2) = 0.919 u 23 = - sin a = - sin(23.2) = -0.395

u32 = sina = sin(23.2) = 0.395 u33 = cos a = cos(23.2) = 0.919

U3 =

1 0 0 0 cosa - sina 0 sin a cos a

1

0

0

0 0.919 - 0.395 0 0.395 0.919

U3-1 =(UJ )

1

0

0

Jadi, A3 = U3 A2U3

0 0.919 - 0.395 0 0.395 0.919

-1

T

1 0 0 0 0.919 0.395 0 - 0.395 0.919

 1 0 0 1.213 -0.741 0 1 0 0

A3 = 0 0.919 0.395 - 0.741 4.414 1.076 0 0.919 -0.395

 0 -0.395 0.919 0 1.076 2.372 0 0.395 0.919

1.213 - 0.680 0.292 - 0.680 4.877 0 0.292 0 1.910

Rotasi 2 (k=3,4,5, ...,n) dan seterusnya dapat dilakukan seperti rotasi 1 hingga konvergen dan akan diperoleh nilai A4, A5, ..., An, dimana n banyaknya iterasi. Nilai karakteristik adalah elemen pada diagonal utama matriks A

A4 =

1.091

0

0.288

0 4.999 - 0.052 0.288 - 0.052 1.910

A5 =

1.000 0.016

0

0.016 4.999 -0.049 0 -0.049 2.001

A6 =

1.000 0.016 0 0.016 5.000 0 0 0 2.000

Jadi nilai karateristiknya :

Ml,

^2 =5,

^3 =2

(Lihat contoh-contoh sebelumnya).

A7 =

1.000 0 0 0 5.000 0 0 0 2.000

Algoritma Rutishauser

Algoritma Rutishauser dapat digunakan untuk menemukan nilai karakteristik (nilai eigen). Algoritma tersebut menggunakan iterasi dari transformasi dekomposisi untuk menemukan matriks Bk+i yang equivalen dengan A. Elemen-elemen diagonal utama matriks Bk+1 adalah nilai karakteristik matriks A.

Algoritma Rutishauser menggunakan dekomposisi booiitiie berulang untuk mendapatkan Bk+1:

1. Dekomposisi matriks A atau B0 menjadi matriks segitiga barwah (L1) dan segitiga atas (R1).

A = B0 = L R1

2. Kalikan matriks Rj dan Lj untuk mendapatkan B1.

B1 = R1L1

3. Dekomposisi matriks B1 menjadi matriks segitiga barwah (L2) dan segitiga atas (R2).

B1 = L2 R2

4. Kalikan matriks R2 dans L2 untuk mendapatkan B2.

B2 = R2 L2

Lakukan langkah 1 hingga 4 secara berulang sehingga didapatkan,

• Bt = RlLl

Jika A=B0 matriks asal dan Ri adalah matriks segitiga atas, maka :

-1

B1 = R1B0 R1

B2 = R2 B1R2-1 l dst

Bentuk Umum :

Bk+1 = Rk+1 BkRkh

di mana :

Rk+1 Rkh = 1

Elemen diagonal utama (%) dari matriks Bk+1 adalah nilai-nilai karakteristik

=

'k+1

a

(k)

*

*

11

*

a

(k)

*

*

22

*

*

a

(k)

*

*

n-1, n-1 *

a

(k)

nn

k = banyak iterasi

Contoh 1.

Hitung nilai karakteristik matriks berikut, A

Solusi

Iterasi 1.

Medokomposisi matriks A atau B0 menjadi Lj dan Rj

Diperoleh :

f 1 0 0^

f3 0

v

1 1

4 2

0 ^

0 1

A = L R1

L, =

V

Jadi,

0 1 0 1.333 0.667 1

B1 = R1B0 R1-1

R,

j

f3 10^ 0 1 0

v0 0 b

R,

-1

0.333

0 0

- 0.333 1 0

0 ^

0 1

 "3 1 0" "3 1 0" "0.333 - 0.333 0" "3 1 0"

B = 0 1 0 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0

 0 0 1 4 2 1 0 0 1 1.333 0.667 1

Iterasi 2.

Medokomposisi matriks B1 menjadi L2 dan R2 Diperoleh :

B1 = L2 R

2

r

L

2

1 0

0 0^ 10

v0.444 0.222 1J

R

2

^3 1 0A 0 1 0

v0 0 b

R

-1

2

0.333

0 0

- 0.333 1 0

0 ^

0 1

Jadi, B2 = R2 B1R

-1 2

 3 1 0 3 1 0 0.333 -0.333 0 3 1 0

b2 = 0 1 0 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0

 0 0 1 1.333 0.667 1 0 0 1 0.444 0.222 1

Iterasi 3.

Medokomposisi matriks B2 menjadi L3 dan R3

B = LR

'2

Diperoleh :

f

L

1 0

00 10

v0.146 0.074 1J

R

^3 1 0A 0 1 0 vo 0 ^

R

-1

3

( 0.333

0 0

3 3

-0.333 1 0

0 ^

0 1J

Jadi, B3 = R3 B3 R31

 3 1 0 3 1 0 0.333 -0.333 0 3 1 0

B3 = 0 1 0 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0

 0 0 1 0.444 0.222 1 0 0 1 0.148 0.074 1

Iterasi 4 dan seterusnya dapat dilakukan seperti iterasi 1, 2, dan 3 hingga konvergen dan akan diperoleh nilai B4, B5, Bn, dimana n banyaknya iterasi. Nilai karakteristik adalah elemen pada diagonal utama matriks B

B4 =

B6 =

3 1 0

0 1 0

0.049 0.025 1

3 10"

0 1 0

0.005 0.003 1

Jadi nilai karateristiknya : X1=3

^3=1

(Lihat contoh yang sama sebelumnya).

B5 =

B7 =

3 1 0 0 1 0 0.016 0.008 1

30 11 01

0 0

0.001 0

?j

Contoh 2.

Hitung nilai karakteristik matriks berikut, A =

Solusi

Iterasi 1.

Medokomposisi matriks A atau B0 menjadi L1 dan R1 Diperoleh :

L, =

' 1 0.5

0 0A 10

v0.5 0.143 1,

R, =

^ 2 1 0 3.5 0.5 v0 0 1.429,

-1

r, =

0.5 0

V

0

Jadi, B1 = R1B0 R11

'2 1 1 4 1

v1 1 2y

A = L R1

- 0.143 0.286 0

-0.3 -0.1

1.7

j

B1 =

2 1 1 0 3.5 0.5 0 0 1.429

2 1 1

1 4 1

1 1

2

0.5 - 0.143

0 0

0.286 0

-0.3 -0.1 1.7

3 1.143

1

0 2.81 -0.167

0

0 1.186

Iterasi 2.

Medokomposisi matriks B1 menjadi L2 dan R2 Diperoleh :

Bj = L2 R

2

 f 1 0 01 r 3 1.143

L = 0.667 1 0 R = 0 2.81 - 0.167

 v 0.238 -0.024 I v0 0 1.186y

 f 0.333 -0.136 - 0.3 ^

R2-1 0 0.356 0.05

 v 0 0 0.843,

Jadi, B2 = R2 B1 R2-1

B2 =

3 1.143

1

0 2.81 - 0.167 0 0 1.186

3 1.143

1

0 2.81 -0.167

0

1

0 1.186

0.333 -0.136 -0.3 0 0

0.356 0.05 0 0.843

4 1.119 1.833 2.814 -0.167 0.282 -0.029 1.186

Iterasi 3.

Medokomposisi matriks B2 menjadi L3 dan R3

( 1 0 0^ (4 1.119

0.458 1 0

0.071 - 0.047 1

B2 = L3 R3

Diperoleh : L

3

Jadi,

B3 =

v

R

V

1

A

V

0 2.301 - 0.625 0 0 1.087

J

R

-1

3

^0.25 - 0.122 - 0.3^ 0 0

B3 = R3 B3 R3 1

4 1.119 1"

0 2.301 - 0.625

V

0.435 0.25 0 0.92

0

0 1.087

4

1

1.119

1.833 2.814 -0.167 0.282 -0.029 1.186

J

0.25 0 0

-0.122 -0.3 0.435 0.25 0 0.92

 " 4.583 1.072 1 "

= 1.01 2.33 - 0.625

 0.077 -0.051 1.087

Iterasi ke 4 dan seterusnya dapat dilakukan seperti iterasi 1 s/d 3 hingga konvergen dan akan diperoleh nilai B4, B5, Bn, dimana n banyaknya iterasi. Nilai karakteristik adalah elemen pada diagonal utama matriks B

B =

 4.836 1.039

B4 = 0.447 2.122

 0.017 - 0.034

 "4.975 1.01

B6 = 0.074 2.015

 0.001 -0.01

 "4.996 1.003

B8 = 0.012 2.001

 0.000 -0.002

B =

K =

"4.936 1.02

0.184 2.043

0.004 -0.019

" 4.99 1.005

0.03 2.005

0.000 -0.005

"4.998 1.001

= 0.005 2.000

0.000 -0.001

Jadi nilai karateristiknya : 2, dan =1

(Lihat contoh-contoh sebelumnya).

1

1

1

1

1

1