Slide: Aplikasi Diferensial

Kecepatan Sesaat

Derivative dapat dipergunakan untuk menentukan kecepatan dan percepatan sebuah benda yang bergerak

Jika jarak (s) merupakan fungsi dari waktu (t) dan dinyatakan s=f(t) maka : s'(t) = lim S(t + h) - S(t) kecepatan h^o h 2 , S(t + h) - S'(t) s (t) = lim —----— percepatan h^o h Contoh 1

Jika suatu benda jatuh dinyatakan dengan persamaan

s=f(t)=-1.6t3 dimana s=jarak (meter) dan t=waktu (detik). Tentukan kecepatan dan percepatan benda jatuh tersebut ketika t= 1 detik. „ 4 s(t + h) - s(t) Kecepatan s'(t) = lim- h^o h s '(t) = -4.8t2 t=1 detik s '(t) = -4.8(1 )2 = -4.8m / det ,,, , s'(t + h)-s'(t) Percepatan s' '(t) = lim- h^0 h s''(t) = -9.61 t=1 detik ^ s"(t) = -9.6(1) =-9.6m/det2

Contoh 2

Kucing loncat dari atap setinggi 32 ft (s0) dengan kecepatan awal 16 ft/detik (v0). Berapa lama kucing loncat sampai ke lantai dan berapa kecepatannya? Nilai g = 32 ft/detik2.

1 k 32 ft

Rumus umum benda jatuh :

^ 1 2

s(t) = - g + V+so

s( t) = -16t2 +16t+32

Untuk menemukan waktu (t) yang diperlukan kucing untuk mencapai lantai, maka s(t) =0 :

^ 0 = -16t2 +16t+32 ^ 0 = -16( t2 +1 - 2) ^ - 16(t+1)(t - 2)

^t = -151 = 2 untuk t=-1 (tidak mungkin) jadi waktu ^ yang diperlukan untuk mencapai lantai

t =2 detik.

Untuk menentukan kecepatan ketika kucing mencapai lantai, tentukan derivative fungsi ketika t = 2 detik.

^ s\t) = -32t+16 ^ s'(2) = -32(2)+16 ^ S(2) = -48

Jadi kecepatan kucing ketika mencapai lantai -48 ft/detik

Contoh 1

Dua mobil meninggalkan persimpangan tegak lurus pada waktu yang bersamaan. Mobil yang satu bergerak ke arah utara (y) dengan kecepatan 35 mil/jam dan mobil yang satunya lagi bergerak ke arah timur (x) dengan kecepatan 60 mil/jam. Berapa perubahan jarak kedua mobil tersebut setelah 2 jam meninggalkan persimpangan tsb?

dx — 60 dy — 35 untukt = 2 jam dt dt x —120 y — 70 y dt dt dt dt dt dt

Laju Perubahan

Derivative dapat dipergunakan untuk menghitung persoalan yang berhibungan dengan laju perubahan.

Contoh 1

Suatu pabrik menentukan bahwa ketika x (ribuan) unit produk barang dihasilkan, keuntungan yang diperolehnya :

P (x) — -400x2 + 6,800x -12,000 dollars

1. Tentukan tingkat perubahan keuntungan terhadap tingkat produksi P'(x).

2. Tentukan tingkat perubahan keuntungan (P'(x)) ketika diproduksi barang 9.000 unit.

P (x ) = -400x2 + 6,800x -12,000 dollars

P ( x + h )-P (x) h

-400(x+h)2 + 6,800 (x+h)-12,000-(-400x2 + 6,800x-12,000)

_ h _ -400h2 - 800hx + 6,800h

_ h

_ -400h -800x + 6,800

, x P(x + h)-P(x)

P' (x) _ lim—---^

V ' h^0 h

P'(x) _ Urn (-400h - 800x + 6,800) _ -800x + 6,800

Jadi tingkat perubahan keuntungan terhadap tingkat produksi :

P'(x) _ -800x + 6,800

P' ( x ) — -800x + 6,800

— -800 (9) +6,800

— -400

Pada produksi x= 9.000 unit, keuntungan berkurang sebesar $400 atau ketika produksi x =9.000 unit, keuntungan marjinalnya adalah - $400.

~ 12000 33 8000 6000 is 10000 o 14000 16000 18000 4000 2000 0 P (x) — -400x2 + 6,800x -12,000 dollars 0 2 4 6 8 9 10 12 14 16 x (1,000 units)

Contoh 2

Air masuk ke dalam tangki yang berbentuk kerucut dengan kecepatan 9 ft3/menit. Tangki tersebut berdiri seperti pada gambar dengan tinggi 10 ft dan jari-jari 5 ft. Berapa perubahan tinggi muka air pada saat kedalaman 6 ft?

Diketahui:

dV dt = 9 ft3 / menit h = 10 ft,dan_r = 5 ft Tentukan: dy dt ketika _y = 6 ft v 2 V — —nx y 3 jr 1 2,* \ 2 3 V ——nx (2x) — —nx 3 3 x y 5 10 y — 2 x dV ^ 2 dx -— 2nx — 9 — 2n(3 dt dt dt dx 1 dt 2n dy — 2* dx — 1 dt dt 2n n .32 ^ /min

Contoh 1

Bola salju melebur dan volumenya berkurang dengan kecepatan 12 cm3/menit. .

Ketika jari-jaringa mencapai 6 cm, tentukan

a) Tingkat perubahan jari-jarinya

b) Tingkat perubahan luas permukaannya.

Jika Vcm , Acm dan r cm adalah volume, luas permukaan dan jari - jari dari bola salju.

a) V — — nr3 3

dV 4 2 dr^ „ 2 dr -— -n(3r2 —) — 4nr2 — dt 3 dt dt dV dt = -12 dan r = 6 -12 = 4n(6) 2 dr dr 1 dt dt 12n 1

Tingkat penurunan jari-jari : -cm/menit

12n

b) A = 4nr

2 dA dr N — = 4n(2 r—) dt = 8nr dr dt dt Ketika r = 6, ^ = 8n(6)(-7^) dt = -4 12n __

Tingkat penurunan luas permukaan : 4cm /menit

Garis Singgung dan Garis Normal

Garis Singgung

Garis Normal

Grs Normal

y = f(x)

Slope =

-1

dy

dx x—a, y—b

? x

P (a, b)

Persamaan Garis :

Garis Singgung di (a, b) : (y - b) —

dy

dx

(x - a)

x—a, y—b

atau (y - b) — f' (a)(x - a)

Garis Normal di (a, b) : (y - b) —

-1

dy

dx x—a, y—b

(x - a)

-1

atau (y - b) — —-- (x - a)

f (a)

Contoh 1

Tentukan garis singgung dan normal kurva y = x3 - 5x + 3 dititikP (1, -1).

dy

Slope grs singgung : — = 3x2 - 5

dx

dy

Untuk x = 1 , -f = 3(1)2 - 5 = -2

dx

Jadi slope grs singgung di titik P adalah m = -2 slope grs normal di titik P adalah m = 1/2

Persamaan grs singgung di titik P: (y — b) = f? (a)(x - a)

y — (—1) = —2( x — 1)

y +1 = —2 x + 2 y = —2 x +1

Persamaan grs normal di titik P: (y - b) —

-1

f'(a)

(x - a)

y = x3 - 5x + 3

-1

y - (-1) ——(x -1)

 = -2

y = -2x + 1

y +1 —

y=

- 2

11

— x —

2 2 1 3

—x — 22

Contoh 1

Tentukan garis singgung dan normal kurva x3 + y3 -9xy=0 di titik P (2, 4).

Derivative dari fungsi:

3x2 + 3y2 dy _(9xdy + y^ = Q 3x2 + 3y2 dy _9xdy _9y} = Q

dx dx dx dx

3 y2 ^ - 9 x^ = 9 y — 3 x2 dx dx

dy (3 y2 — 9 x) = 9 y — 3 x2

dx

dy 9 y — 3 x'

dx 3 y2 — 9 x)

Slope grs singgung di titik P

2

mtan =

9(4) — 3(2r 24 4

3(4)2 — 9(2) 30 5

Slope grs normal di titik P

mnormal

5

4

Persamaan grs singgung di titik P: (y - b) — f' (a)(x - a)

4

y - (4) — 5( x - 2)

, 4 8

y - 4 — — x —

5 5

4 12

y — — x +--

5 5 -1

Persamaan grs normal di titik P: (y - b) —-(x - a)

f,( a)

-1 -5

y - (4) — --(x - 2) y - 4 - 2)

- 5 26

y — — x +--

44

4 12

— x +—

5 5

x3 + y3 - 9xy = 0

— 5 26

y = — x +--

44

\

Nilai ekstrim Fungsi

Nilai Ekstim Relatif dan Absolut

• Nilai extrim (a, b, c, d)

• Maksimum (a, c) minimum (b, d)

• Ekstrim relatif (a, b) dan ekstrim absolut (c, d)

• Ekstrim local (a, b) dan ekstrim global (c, d)

y

x

Nilai Kritis dan Titik Stasioner

• Nilai kritis dari x adalah nilai x* jika f '(x*) = 0

• Titik stationer adalah titik dimana derivative dari fungsi fx) adalah nol atau f '(x)=0.

• Titik stationer dapat berupa titik minimum, maksimum, atau titik belok.

• Nilai stationer dari y adalah f(x*)

• Titik stationer adalah titik dengan koordinat x* dan f(x*) atau (x*, f(x*)).

Test Derivative Pertama

• Jika f '(x*) = 0, nilai dari f(x*) adalah : maksimum relatif jika derivative f '(x*) berubah tandanya dari positif ke negatif dari sebelah kiri titik x* ke sebelah kanan.

y

f '(x*)=0

X

f '(x*)

slope

+

0

Titik maximum relatif

Test Derivative Pertama

• Jika f '(x*) = 0, nilai dari f(x*) adalah : minimum relatif jika derivative f '(x*) berubah tandanya dari negatif ke positif dari sebelah kiri titik x* ke sebelah kanan.

y

f '(x*)=0

x

f '(x*)

slope

0

+

Titik minimum relatif

Test Derivative Pertama

• Jika f '(x*) = 0, nilai dari f(x*) adalah : titik belok jika derivative f '(x*) tidak berubah tandanya (tanda sama negatif) dari sebelah kiri titik x* ke sebelah kanan.

y

f '(x*)=0

X

f '(x*)

slope

0

Titik belok

Test Derivative Pertama

• Jika f '(x*) = 0, nilai dari f(x*) adalah : titik belok jika derivative f '(x*) tidak berubah tandanya (tanda sama positif) dari sebelah kiri titik x* ke sebelah kanan.

y

f '(x*)=0

x

f '(x*)

slope

+

0

+

/

Titik belok

Test Derivative Kedua

• f '(x) mengukur tingkat perubahan fungsi

- Mengtahui apakah slope naik atau turun

• f ''(x) mengukur tingkat perubahan di dalam tingkat perubahan fungsi

- Mengetahui apakah slope naik atau turun pada tingkat perubahan fungsi yang naik atau turun

• Jika f(x) adalah maksimum pada x0 maka

• Jika f(x) adalah minimum pada x0 maka

Contoh 1

Jika R(Q) = 1200Q - 2Q2

Apakah mempunyai titik maksimum, minimum, atau titik belok?

dR

dQ

= 1200 - 4Q = 0

4Q = 1200; Q = 300

d dR d2 R

--=-7 = -4

dQ dQ dQ2

Karena f''(Q) 0, maka fungsimempunyai titik maksimum yaitu pada titik (300, 180000).

Contoh 1

Apakah titik stasioner dari fungsi berikut maksimum, minimum, atau titik belok y = x2 + 2x -15 .

y = x2 + 2x -15 dy

dx

= 2x + 2

Untuk nilai stasioner, — = 0 Jadi 2x + 2 = 0

dx

Untuk x = -1,

x = -1

y =(-1)2 +2(-1) -15 = 1 -2 -15

= -16

Titik stasioner fungsi ; (-1, -16)

x i

 1 -1 - B -1^-1 +

dy dx - 0 +

slope

Titik (-1, -16) : minimum

y

Contoh 3

Apakah titik stasioner dari fungsi berikut maksimum, minimum, atau titik belok y = 1/3 x3 - x2 - 15x.

y = 1/3 x3 - x2 - 15x. dy

dx

= x2 - 2x -15

dy

Untuk nilai stasioner,dx = 0 maka ( x - 5 )(x + 3 ) = 0

Untuk x = 5,

y = 1/3(5)3 -(5)

Untuk x = -3,

x = 5, x = -3

y = 1/3(-3)3 -(-3)2 -15(-3) = 27

Jadi titik stationernya adalah (-3, 27) dan (5, - 58 1)

Pada titik stasioner (-3, 27). x |-3 ? - ? |

 dy dx + 0 -

 slope

 Titik (-3, 27) : maksimum

Pada titik stasioner (5, - 58 ^ .x ij ij o

 dy dx - 0 +

 slope \ ./

 Titik (-3,- 581) : minimum

(-3, 27)

40 30 20

(5,-58—) 3

Limit

Limit dari fungsi dapat dihitung dengan menggunakan derivative dan dikenal dengan istilah "Aturan L'Hospital" (L'Hospital's Rule)

Jika lim f (x) = lim g (x) = 0

x ^ a x ^ a

lim f (x) = lim g (x) = atau

x ^ a x ^ a

f(x) = I =« g(x) 0 &

r f ( x ) r f'( x ) Maka lim = lim J

x ^a g ( x) x ^a g'(x)

Contoh 1 Tentukan limit dari: lim

x ^ 0 ln(1 + x) x lim = lim ^ x ^ a g(x) x ^ a g'(x) f(x) i lim x ^ 0 n(1 + x x g(x) f '(x) i = lim 1 x ^01 + x = 1 gf'(x)

Contoh 2

Tentukan limit dari: lim——)

x x lim Z(x) = lim ^ x ^ a g (x) x ^ a g \ x) f(x) i f '(x) lim = x g(x) x 1 lim — = lim — = 0 x^ 1 xx gf'(x)

Contoh 3 Tentukan limit dari

x 2 lim x ^ro 2 x f(x) f'(x) f"(x) lim ——- = lim ' = limJ y ' x^a g(x) x^a g'(x) x^ag"(x) f(x) I f '(x) I lim— = *->«> 2x g(x) f g '(x) = 0 g ''(x)

Solusi Persamaan

Penggunaan derivative untuk mendekati solusi dari fungsi f(x)=0 disebut iterasi Newton

Bentuk umum dari iterasi Newton

xn+1 = xn

F (x) = x -

f (x„) f (x. )

f ( x ) f( x)

Contoh 1

Tentukan solusi dari persamaan : x3 — 2 = 0 atau x = V2 = berapa ?

f (x) = x3 — 2

xn+1 = xn

f(xn)Fv \ _ 2x2 + 2

) t{X) _ x ^ 2 _ 3x2

.

f'(x.) ' ' 3x2 3x

Jika nilai awal x0=2 dan iterasi Newton xi+1=F(x/), maka pendakatan solusi persamaan untuk iterasi ke 5 adalah :

xo = 2

x1 = 1.50000000 Jadi x2= 1.296296296 r-

x3= 1.260932225 x = v2 = 1.25992105

'3

x4= 1.259921861 x5= 1.259921050

Contoh 1

Tentukan solusi dari persamaan : x — 2x + 2 = 0

f (x) = x — 2 x + 2

f (x„)

f ' (x. )

xn+1 = xn

F(x) = x -

x3 - 2x + 2 2x3 - 2

3x2 - 2 3x2 - 2

Jika nilai awal x0=-2 dan iterasi Newton xi+1=F(x/), maka pendakatan solusi persamaan untuk iterasi ke 4 adalah

x0 = x1 =

x2 = x3 =

x4 =

-2

-1.80000000 -1.769948186 -1.769292662 -1.769292354

Jadi x = 1.769292354

Optimisasi

Derivative dapat dipergunakan untuk menyelesaikan persoalan pemograman linier (persoaalan maksimum atau minimum).

1. Rumuskan permasalahan (maksimum atau minimum)

2. Identifikasi fungsi tujuannya

3. Tentukan persamaan pembatasannya

4. Tentukan derivative-nya

5. Cari nilai ekstrim (a) dengan :

Contoh 1

Membuat kardus dari bahan persegi biasanya ke empat sudutnya digunting berbertuk segi empat sama sisi ( lihat gambar). Jika bahan kardus tersebut kertas yang berukuran panjang 160 cm dan lebar 100 cm, tentukan volume kardus yang paling besar (maksimum). Berapa panjang dan lebarnya. Kardus tersebut tanpa tutup.

160

x

100

x

Panjang = 160 - 2x cm. Lebar = 100 - 2x cm

Fungsi tujuan : V= pit (panjang, lebar, tinggi): Volume maks. Pembatasan luas bahan : A = pl =(160)(100) cm2

V(x) = ptt =(160-2x)(100-2x)x

v(x) = (160 - 2x )(100 - 2x )x v(x) = (16000 - 320x - 200x + 4x2 )x v(x) = (16000 - 520x + 4x2 )x v(x) = 16000x - 520x2 + 4x3

Untuk maksimumkan volume gunakan v'(x) = 0

v(x) = 16000x - 520x2 + 4x3 v '(x) = 16000 - 1040x + 12x2 0 = 12x2 - 1040x +16000 dibagi _ oleh _ 4 0 = 3x2 - 260x + 4000

0 - 3x - 260x + 4000

0 _(3x - 200)x - 20)

3x _ 200, x _ 20

200 2

x —-_ 66 — atau x — 20

3 3~ ~

Untuk menentukan mana yang membe-rikan volume maksimum dapat menggu-nakan derivatif tingkat 2 dalam hal ini cari nilai x yang minimum.

v(x) - 16000x - 520x2 + 4x3 v'(x) - 16000 -1040x + 12x2 v "(x) — -1040 + 24x

v'(20) - -1040 + 24(20)- -1040 + 480 - -560 Untuk _v"(20) < 0,_x_maksimum

v'' (20) — -1040 + 24( 200

3

\

v

3

— -1040 +1600 _ 560

y

200

Untuk v"(-) > 0, x minimum

3

Jadi untuk volume kardus maksimum x = 20 cm. Panjang kardus = 160-2x = 160-40 cm = 120 cm Lebar kardus = 100-2x = 100-40 cm = 60 cm Volume kardus = p.l = (120)(60)(20) =144000 cm3.

Contoh 1

Jika anda disuruh mendesain kaleng minyak dengan volume l liter berbentuk selinder (lihat gambar). Berapa dimensinya agar dapat menggunakan bahan sesedikit mungkin (luas bahan (S) paling kecil) ? 1 liter = 1000 cm3

Volume kaleng : V = nr h Luas permukaan kaleng (S) :

h

r

2

2

Atas = nr dasar = % r sisi = 2nrh Luas total (s) = 2nr2 + 2nrh

Minimumkan luas permukaan kaleng

S = 2nr2 + 2nrh dimana 1000 = nr2h ^ h = _

2 1000 2 1 w

S = 2nr2 + 2nr = 2nr2 + 2000r_1

2

2

nr *

S' = 4nr - 2000r

-2

2000 A

4nr--— = 0

r2

4nr3 = 2000

h _

1000

2

h _

r = 3500 « 5.42

Ttr 1000

71 ( 5.42 )2

h «10.84

n

Jadi dimensi kaleng tersebut: jari-jari (r) = 5.42 cm

tinggi (h) = 10.84 cm

Contoh 1

Selesaikan persoalan maksimum berikut: Fungsi tujuan : u(x,y) = xy (maksimum)

Fungsi pembatasan : x+2y < 12

u(y) = (12-2y)(y) = 12y-2y2

Agar fungsi tujuan maksimum maka u'(y)=0

u'(y) = 12 -4y = 0 --> y = 3 --> x = 6

Jadi untuk fungsi tujuan masimum maka y = 3 dan x = 6

Nilai maksimum dari fungsi tujuan