Slide: Aplikasi Integral

Aplikasi Integral

Luas di Bawah Kurva

Jika f(x) kontinue untuk semua x di dalam [a, b], maka luas daerah yang dibatasi grafik y=f(x) dan sumbu x pada interval [a, b] dinyatakan sebagai :

y f(x) a b x

Dimana : a = batas bawah b = batas atas

Contoh 2

1

Tentukan luas di bawah kurva berikut pada interval [0, 1]

y = *3 +1

y

i

A = jf (x3 +l) dx

Antiderivative dari f(x) = x3 + 1 :

F (x) =—x4 + x, 4

A = jf (x3 + l)dx = -4 x4 + x

o 1(l)4 +— 4 ' —(f)+0 5 4 x

Tentukan luas di bawah kurva berikut pada interval [1, 3]

f ( x ) = x2 - 3 x

f (x) = x2 - 3x

A =

| (x2 - 3x)x

5

| (x2 - 3x)x

x 3 x 3 ( 27 27 | (1 3 ^ = 10 = 10

3 2 z j 1 = I 3 2 J 13 2 J = 3 = 3

10

3

Tentukan luas antara kurva Sinus dan sumbu x pada interval [0, 2n].

n

J |sin(x)|dx = Jsin(x)dx + J(-sin(x))c/x = 4.

0

n

Tentukan luas antara kurva f (x) = x4 - 2x3 +2 dan sumbu x pada interval [-1, 2].

2

A = j*(x4 - 2x3 + 2) =

-1

x5 2 x2 1

5 t 4

t-2 x

-1

r

32 32

\

v

5 4

+ 4

r

v

-1 - 2

T - 4

\

2

j

51

10

-10 12 3

2

Luas Antara Dua Kurva

Jika f(x) > g(x) untuk semua x di dalam [a, b], maka luas daerah antara grafik y=f(x) dan y=g(x) antara x = a dan x = b dinyatakan sebagai :

u

A = \[f (x) - g (x) ]x

a

Menentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)

Temukan titik perpotongan pada ke dua grafik tersebut dengan memecahkan persamaan f(x) = g(x).

b

A = j[f( x) - g( x)]x

a

Luas Total = A

V

 J j"l _% c .pi n i i

7 jpi-1 r \ C

A \

 i J 'l f Jr > 1

 y-irwi

c

A = \f( x) - g( x)]dx

a d

B =j[g(x) - f(x)]dx

c b

C = jf( x) - g( x)]x

d

Luas Total = A + B + C

Contoh

Hitung luas daerah A pada gambar berikut.

 II

 1

 (1

b

A = \[f( x) - g( x)]

a

v = 2_i .1

1

A = Vf2x2-x4) - (x -1)]

a.

2 3 5 2

2 x x x

~Y ~ 5 " T

+x

0

2 1 -1 +, = 29

L 3 5 2 30

1

Hitung luas daerah A pada gambar berikut.

b

A = jfg( x) - g( x)]

a

0.5.

A = j[f - x2) - (3x2)]x

0

-4 3 x x

3

i

0.5

4

0.5 — (0.5 )3 3

1 - 4-(1)=1 2 3 8 3

b 1 B = j[g(x) - f(x )]x B = j[(3x2) - (1 - x2 ]

a

'-. 3 - ' x x

_ 3

' l l l ---+—

3 6 2

0.5

1/2 2 3

4 4 11

(-1 -1) - ((-i^) - V

3 3 8 2

1 2

Jadi Luas Total = A + B = — + —

3 3

= 1

0

1

Hitung luas daerah yang dibatasi dua kurva :

f (x) = x2 -1 dan g(x) = x - 3

dan garis vertikal x= - 1 dan x= 2.

\ u ;

 J

?x

f,[(x2 - 1)-(x-3)

= |1 (x2 - x + 2)dx

dx

(3 2

oc oc _ ---+ 2x

v3 2

2

-1

'8 - 2 + 4

v 3 j

A ^-1 1 A

----2

v 3 2 j

15

2

Volume Benda Putar

Daerah yang dibatasi oleh fungsi f (x) diputar 360° pada sumbu x atau y akan membentuk benda putar yang pejal (solid of revolution).

Volume Benda Putar : Metode Piringan (Disk Method)

Benda putar yang dibentuk rotasi kurva f (x) antara x = a dan x = b pada sumbu x. Maka volume benda putar tersebut adalah :

b

V = \n[f (x)]2 dx

a 0

x 2

Sumbu x sebagai sumbu putar: V = Jn [f (x)]2 dx

x1

y 2

Sumbu y sebagai sumbu putar: V = Jn [f (y)]2 dy

y1

Volume Benda Putar : Metode Cincin/Ring (Washer Method)

Benda putar yang dibentuk oleh rotasi daerah yang dibatasi oleh kurva f (x) dan g (x) (dimana f (x) > g (x)) dengan x sebagai sumbu putar pada interval [a, b]). Maka volume benda putar tersebut:

V = ((x)]2 -n[g(x)]2)

a

x 2

Sumbu x : sumbu putar: V = J( (x )]2 -n[g (x )]2 )dx

x1

Sumbu y: sumbu putar: V = (y)]2 -n[g(y)]2)dy

y1

Contoh 1

Tentukan volume benda putar yang terbentuk dari rotasi fungsi f (x) = Vr2 -x2 pada interval [-r, r] mengelilingi sumbu x.

Vol ume benda putar tersebut

= n

n

2

r x -

2 2 2 - x dx = n

x3" r 4nr3

3 = 3 .

2 2 - x

dx

- r

Contoh 2

Tentukan volume benda putar yang terbentuk dari rotasi fungsi f(x) = x-x2 pada interval [0, 1] mengelilingi sumbu x.

y ^xj — x x

2

V =\n(x - x2 )2 dx =

5 4

nx nx

+

nx

0

JQ

n

3Q

Panjang Busur

Jika f(x) kontinue pada interval busur pada grafik f(x) antara dinyatakan sebagai :

[a, b], maka panjang x1 = a dan x2 = b

V

L -l

a

1

1 +

' dy'

V dx j

2

dx

L

= ^ (dx )2 + (dy )2 dx

a

Jika f(y) kontinue pada interval [a, b], maka panjang busur pada grafik f(y) antara y1 = a dan y2 = b dinyatakan sebagai :

L =J

a

1

1 +

v dy j

dy

L=

U (dx )2 + (dy )2 dy

a

Contoh 2

2 2

Tentukan panjang busur dari fungsi x3 + y3 = 1

Untuk kurva berwarna biru : Fungsinya f(x) = V 1 -x2 + 3x-/3 -3x

Intervalnya : [Q, 1]

L =

+ f '(x )2 dx

i i

L = Jx 3 dx = 2 0 2

Jadi panjang busur total adalah 4 x 3/2 =6

x3 + y3 = 1

Contoh 2

Tentukan panjang busur dari fungsi f (x) = ln(1 -x2) pada interval [Q,

r\

Fungsi: f (x) = ln(1 - x )

1.5

0.5

 1

o o .1 0 .2 0.3 0 .4 0

Derivatinenya

dy 2x

dx 1 x

2

u

L -[

a

1

r

1 +

dy'

V dx J

2

dx

1/2

L =

0

\

f

1 +

2 x ^

2

V

1 - x

2

dx - 0.599

J

Luas Permukaan Benda Putar

Jika suatu fungsi f kontinue pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu x atau y akan menghasilkan luas permukaan benda putar (Area of a Surface of Revolution).

Jika f(x) kontinue pada interval [a, b], maka luas permukaan benda putar yang terbentuk apabila kurva f(x) antara x1 = a dan x2 = b diputar mengelilingi sumbu x adalah :

b

A = 2^ \f (x)^

a V

1 +

(dy ^2

V dx j

dx

Jika f(y) kontinue pada interval [a, b], maka luas permukaan benda putar yang terbentuk apabila kurva f(x) antara y1 = a dan y2 = b diputar mengelilingi sumbu y adalah :

u

A = 2^ \f (y)

a

H

1 +

fdx^

v dy j

dy

Contoh 1

Tentukan luas permukaan benda putar yang dibentuk oleh rotasi fungsi f(x)-Js-x2 pada interval [-r, r]

mengelilingi sumbu x.

A - 2n Jf (x1 + (f'(x))2dx

A - 2n JVr2 - x2 1 +

' -2 x ^

- r

V

x2 J

dx

r __r

2n jylr2 - x2 + x2 dx - 2n Jrdx

- r

-r

- 4nr

2

Contoh 2

Tentukan luas permukaan benda putar yang dibentuk oleh rotasi fungsi f (x) = 1 -x2 pada interval [-1, 1] mengelilingi sumbu x.

f(x)

 / ® /1 .8 "

 (J

 ? _41 .4 "

 u z

-4. -0.6 -£ 1.2 0 .2 0 .6

f (x) =1 - x

2

b

A = 2n Jf (x)

a \

1 +

' dy ^

V dx j

^ = -2 x dx

A = 2n J(1 - x2)^1 + (- 2x)2 dx

dx

-1

1

A = 2n J(1 - x2)V1 + 4x2 dx = 10.965

-1

Jumlah Akumulatif (Total Tingkat Perubahan)

Jika f(x) kontinue pada interval [a, b], maka julmlah akumulasi total tingkat perubahan dari xx = a hingga x2 = b dinyatakan sebagai :

b

^ Total - Jf (x)dx

a

Jika f(y) kontinue pada interval [a, b], maka julmlah akumulasi total tingkat perubahan dari yx = a hingga y2 = b dinyatakan sebagai :

b

^ Total - J f (y)dy

Contoh 2

Seorang pekerja meningkatkan efisiensi kerjanya dengan menggunakan lebih sedikit waktu dalam menghasilkan setiap item pekerjaannya. Jika tingkat perubahan dari jumlah jam yang diambil pekerja untuk menghasilkan x item pekerjaan dinyatakan oleh :

f ( x) = 20 x - x 2

a. Berapa jumlah total jam yang diperlukan untuk menghasilkan 5 item pekerjaan pertama

b. Berapa jumlah total jam yang diperlukan untuk menghasilkan 10 item pekerjaan pertama.

a) f(20 - 2 x )dx = ( 20 x - x2)

0

= [20 ( 5)-52 ]-[ 20 ( 0)-02

= 100 - 25 - 0 - 0 = 75

Jadi diperlukan 75 jam untuk menghasilkan 5 item pekerjaan pertama.

b) f (20 - 2 x )dx = ( 20 x - x2)

10

0

= [20 (10)-102 ]-[ 20 (0 )-02

= 200 -100 - 0 - 0 = 100

Jadi diperlukan 100 jam untuk menghasilkan 10 item pekerjaan pertama.

(a)

^------->

[0, 5]

(b)

_____^______/

[0, 10]

Contoh 2

Gaya yang bekerja pada suatu benda dmyatakan okh

pungsi : 3

F(x) -— x 2

Berapa kerja yang dilakukan oleh benda tersebut jika bergerak dari keadaan asal hingga jarak 5 meter.

W - F(x)dx

a

5

W -

I xdx J 9

0

2

3

4

x

2

5

3 5 75

— x 25 - —

4 4

0

Nilai Rata-rata Fungsi

Rata-rata (average atau mean) dari suatu fungsi f(x) pada interval [a, b] didefinisikan sebagai :

atau

Contoh

Jika fungsi f(x) = 3x2. Tentukan nilai rata rata fungsi f(x) pada interval [0, 1].

- 1 \ f = -- f(x)dx

b - a

a 1

f = —1— [3x2dx

1 - 0 J

1 V 0

= (x3)0 = (1 - 0) = 1

1

2

Tentukan nilai rata-rata fungsi : f (x) - x3/2 pada [0,9].

1

b - a

=—f 9 - 0

x dx — —

^2x5/2 ^

2

V

J

0

—(95/2) -

45v ;

54 5

3

Voltase listrik dinyatakan sebagai fungsi : e-(3t2+2t+1)dt

Tentukan rata-rata voltase untuk t dari 0 hingga 5 detik.

— 1 b f - TZ^ Jf(x)dx

1 - 1

5 - 0

J (3t2 + 2t +1) dt

1 5

1

3 2 t3 +t +t

- 5(125 + 25 + 5) - 31

5

0

"Moving Average" Dari Fungsi

Rata-rata pergeseran (moving average) untuk a-unit data dari suatu fungsi didefinisikan :

f =

1

x

f( t)dt

n "

x - n

Dimana

n= jumlah unit "moving average" pada fungsi

Contoh

Tentukan rata-rata pergeseran (moving average) untuk 2 unit pergeseran dari fungsi : f(x) = x

V

 \

 -1 /id f j:) f

y - \

 1 —>

7 =1

x

- \t2dt 2 J

1 2

1_ 2

x - 2 " 1

3

t

3

x

x - 2

— (x3) - 1(x - 2)3 33

1 2

1

2

1 x3 -1 (x3 - 6x2 + 12x - 5) 3 3

12

-(6x2 - 12x + 5)

=1 (2x2 - 4x + —) = x2 - 2x + — 2 3 3

Massa dan Momen

Jika T adalah plat yang berat jenisnya (p) homogen dan dibatasi oleh fungsi kontinue y=f(x) dan y=g(x) dimana f(x) > g(x) untuk semua x dalam inteval [a, b], maka :

b

Momen T thp sumbu y : My - ^pxf(x)-g(x)]dx

a

b

Momen T thp sumbu x : Mx - Jpp x (f(x))2 - (g(x))2 ]x

a

Pusat massa plat T :

My M

x

MM

o

Massa dariplat T : M - \px f(x)-g(x)]x

a

Contoh 2

Hitung momen terhadap sumbu y dan x serta tentukan massa dan pusat massanya dari plat T yang dibatasi f(x) dan g(x) pada interval [0, 1] seperti pada gambar berikut. Berat jenis (p) dari plat T = 1.

y

3

1

 y-

T

 (1, 2)

 y=

 y

2

b

My - Jp[f(x) - g(x)dx

a

2

M -

y

J1 x[(3) - (1)]x

0

x

(2x] - (4 - 0) - 4

b

Mx =\p[(f(x))2 -(g(x))2] J 2

a

2

M = j1 [)2 - (') ]

x

0

1

2

[8x1 = 1 [6 - 0 ] = 8

o

Massa dari plat T : M = jp x[(x;-g(x^jdx

a

2

M = j1 x[( - (1)]dx = [2x] = (4 - 0) = 4

0

Pusat massa plat T :

[ M y Mx ' " 4 8"

M ' M _ 4'4 _

= (12)