Slide: Integral

Integral Indefinit

Suatu fungsi disebut antiderivative dari fungsi pada interval I jika:

F '(x) = f(x)

F(x) antiderivative dari f(x)

untuk semua x dalam interval I

F (x) = x3 f (x) = 3 x2

F (x) = 6 x2 + 3 f (x) = 12 x F (x) = sin x - 7 f (x) = cos x

F(x) = 3x2 + 2 adalah antiderivative dari f (x) = 6x karena F\x) = f (x).

Contoh

Konstanta Integrasi

Sebuah fungsi mempunyai antiderivative infinitif jika mempunyai suatu konstanta (C).

Jika integrasi dair f(x) adalah F(x) +C, maka C disebut konstanta dari integrasi.

/--N

I x dx — x + C i J 4

/ N

f( 3 x "2 + 4 ) dx — -3 x+4 x + C

mm• ^

Proses menemukan antiderivative disebut antidiferensiasi atau integrasi.

F (x ) =

x

30 20 10 —0-

-4 -3

G (x ) = x3 +10

40 30 20 10

0

1 0 1 2 3 4 -3

-10

-20

-30

-2 -1 0 1 -10

-20

C = 10

~~I I I

234

30 20

C = -5

F(x), G(x), dan H(x) adalah antiderivative dari 3x2

Masing-masing grafik diperoleh dari grafik lainnya dengan cara menggeser vertikal sejauh jCj unit.

Menetukan Nilai Konstanta (C)

Tentukan fingsi f(x) jika diketahui bahwa :

f'(x) = 2x3 - 4x +1 dan f (2) = 5

f (x) = j>'(x )dx = J(

= II2x3 -4x + l)dx

—x4 - 2 x2 + x + C 2

1 -

5 = f(2) = -(24)-2(22) + 2 + C Maka C = 3

Notasi Integral

Notasi antiderivativ dari fungsi f(x) dinyatakan :

1

F'(x) =f(x)

2

d_ dx

F (x) — f (x)

3

•f

f (x) dx — F (x) + C f (x)dx disabut integral indefinit

Aturan Integral Idenfinit

Jika F(x) dan G(x) adalah antiderivative dari f(x) dan g(x) serta c dan n bilangan real. Maka,

1

2

J x dx ~ [x ~ldx — ln

n +1

x

+ C n

+ C

J

kdx — kx + C

3

— c

4

J[ f ( x ) ± g ( x ) ]x — f ( x ) dx ± g ( x ) dx

7

8

9

10

11

6

jcos xdx = sin x + C jsin xdx = - cos x + C jsec2 x dx = tanx + C jcsc2 xdx = -cot x + C jsecxtanx dx = secx + C jcscxcot x dx = -cscx + C

12

13

14

15

16

ex dx = ex + C

\ekx dx

e

kx

k

+ C

b dx =-+ C \akx dx

a

k ? x

ln b

k (ln a)

+ C

1

dx = tan 1 x + C

1 + x 1

2

dx = sin 1 x + C

x

2

1

dx = sec 1 x + C

x

Vx2 -1

Aturan Integral Indefinit Yang Melibatkan Ekspresi ax + b

1

2

3

4

C/ \ n (ax + b) / v

l(ax + b) dx — ---— + C (n ^-1)

JV ; a (n +1) V ;

f -1 1

l (ax + b) dx — — ln ax + b + C

J a

f ax+b 7 1 ax+b . r^

l e dx — — e + C

j-

c^+bdx —

1

a ln c

ax+b . r^

c + C

Contoh

1

2

3

4

J

5dx — 5 x + C

r x4 x dx —--+ C

J 4

|2 x3 dx — 2 Jx3 dx

J(x + 1)dx — \xdx + J\dx

5 J 2ax dx = J a(2x)dx = ax2 + C J 2ax da = J x(2a) da = xa2 + C

6

7

2

\

3e — + 2 x - 6

x

dx

J

3 jexdx -7 j—dx + 2 |x2dx - |6dx

2

= 3e - 7ln x + — x - 6x + C

3

7

J x dx

x

18

18 1

+ C

8

\dx = j1 dx = Jx0 dx

= — x18 + C 18

x

= _ + C = x + C 1

1

10

11

12

13

9

[(2x5 + 8x3 - 3x2 )dx = j2x5dx + |8x3dx - j3x2dx

= 2 Jx5dx + 8 Jx3dx - 3 Jx2dx

 ( O ( 4\ ( 3\

2 x + 8 x - 3 x

 1 6 J l 4 J l 3 J

+ C =1 x6 + 2x4 - x3 + C

3

\\2e'dt = 12 \e'dt = 12et + C Je5tdt =

J 7 xdx

5

7x

ln7

J:

+ C

)-5u

2-5u du=

5 (ln2 )

+ C

14

15

16

17

18

1

[9x~ldx — 9 f- dx — 9ln x + C J J x

J

x dx — + C

x 3 2

J(x2 + x )x — Jx2 dx + Jxdx — — + — + C

2

4 4

J2 x3 dx — 2 Jx3 dx — 2— + C — — + C

7

2

3e---+ 2u - 6 I du

u

— 3 Jeudu -7 J— du + 2 Ju2du - J6du

— 3eu - 7ln lul — — u3 - 6u + C

Integral Definit

Notasi :

Merupakan integral definit fungsi f (x) dari a sampai b. b adalah batas atas dan a adalah batas bawah.

Jika f adalah kontinue pada [a, b]. Maka :

f (x) dx = F (b ) - F ( a )

dimana Fadalah antiderivativ dari fungsi f

Aturan Integral Definit

1.

2.

a

f ( x ) dx — 0

V

a b

a

m

f ( x ) dx — - i f ( x ) dx

Jb

(c : konstanta)

4. ! (f (x) ± g(x))dx — ! f (x)dx ± ! g(x)dx

Ja ^ ' Ja Ja

(a c )

•fa

f (x )dx — f (x )dx

Contoh

1

2

Tentukan :

1

\

2 x — +1

x

dx

J5 f 2 x - — +1J dx — (x2 - ln x + x

— (52 -ln5 + 5)-(12 -ln1 +1)

— 28 - ln5 « 26.39056

Tentukan : f 2x3dx

t

2 x dx — x

2

1

2

— —(2

-1 (o4 2

=8

3

4

£[(^ - 1)-(x-3)

dx

x 2

-1

-1 1 2

\

---2

J

15 2

Tentukan : A = J0 (x3 +1) dx

Integral dari f(x) = x3 + 1 adalah : F(x) =

A = J0(x3 + 1)dx = — x4 + x

1 ^ 4

1(1)4 +1 4 '

jadi

1 (0) + 0 = 5 4 4

5

Tentukan [(6x2 - 3x + 5)dx — 6 f x2 dx - 3 JT x dx + 5 f dx

— 2 x

5 - 2 2 ^ x

2 2

2

2(53 -23)-2(52 -22) + 5(5-2)

+ 5 x

5 2

435 2

6

J1 (x2 - 3x)dx

J1 (x2 - 3x)dx:

f 3

x

3x

2 A

V

3 2

J

( 27 27 ^ r 1 3 ! — 10 10

V 3 2 J V 3 2 J — 3 — 3

10

3

Pendekatan Numerik Integral

Definit (1)

Cara penjumlahan segi empat yang sama lebar.

Sisi kiri Sisi kanan Titik tengah

y 7 = f (x)

—?

a

b

Ax

x

y y = f (x)

—?

b

Lebar : Ax =

Ax

b - a

y y = f (x)

x

—?

x

b

Ax

n

(n jumlah segi empat)

Contoh

1

Pendekatan numerik luas di bawah kurva dari

f (x) — 2x2 di [0,2] Untuk n= 4; titik tengah

I

\

A «Ax [[() + f (^2) + f (m3) + f (m,)]

. 1

A _

/I ^

2

A 1

/I ,—' _

yi

2

1

f - + f T + f T + f

1 9 25 49

- + —+—+—

8 8 8 8

21

V^J

2

Tentukan luas di bawah kurva :

f (x) = 2x2 di [0,2]

untuk n = 4.

A « Ax [f (xo) + f (x) + f (x2) + f (x)]

j 1

A _

/I ^

2

j 1

A rsj _

yi ^

2

f (0 )+f

1

J

+

f (1)+f

J

1 9

0+-+2+-

2 2

7 2

Pendekatan Numerik Integral

Definit (2)

Cara Penjumlahan Riemann

Jika f: fungsi kontinue, penjumlahan sisi kiri Riemann dengan n partisi dari f pada interval [a, b] didefinisikan :

n-1

X f (xk )Ax

k—0

— f (x0) Ax + f (x1) Ax +... + f (xn-1) Ax

— [f (x0 ) + f (x ) + ... + f (xn-1) ] Ax

dimana a — x0 < x1 ... xn

— b ; jurnlah partisi

dan Ax — (b - a)/n

Cara Penjumlahan Riemann

^ y = f (x)

a b

f Continue, non negatif pada [a, b]. Maka luas :

n-1

Luas = lim V f (xk )Ax ™ k=0 rb

= I f ( x ) dx

Ja

Contoh

Hitung penjumlahan Riemann untuk integral definit:

2

Jx2dx gunakan n = 10.

0

n-1

X f (xk )Ax—z

x

k

k—0

k—0

V J J

(1/5)2 + (2/5)2 +...+ (9/5)2 (1/5)

— 2.28

Pendekatan Numerik Integral

Definit (3)

Rata-rata luas dari perhitungan segi empat sisi kiri dan sisi kanan

Aturan Trapesium

f f (x) dx = i if [ f (x0) + 2 f (+...

Ja

+ 2 f (xn-1) + f ( x„ n]

Pendekatan Numerik Integral

Definit (4)

Aturan Simpson

b

f (x) dx —

a

1 Ax[ f (x0) + 4 f (x) + 2 f (x) +...

f( xn-1) + f ( xn)]

1/3 (1 + 4 + 2 + 4 + 1)

Aturan Simpson hanya berlaku untuk partisi yang genap (titik tengah data yang ganjil).

Perbandingan Pendekatan Numerik Integral

Contoh : Tentukan luas i lingkaran dengan jari-jari 2.

f(x)

2.5

f (x ) = V 4 - x

1.5

Luas di bawah kurva

f (x ) = V 4 - x2

0.5

0

x

0.5

1.5

2.5

2

1

0

1

2

Segi Empat Sisi Kiri

n 2

Segi Empat Sisi Kanan

f(x)

Area « 1 +1 • 0 = 1.732

2 2

- = 2 = 1 n 2

f (2 )=°

x

2 2.5

Trapesium

Rata-rata luas segi empat sisi kiri dan sisi kanan :

3.732 +1.732 2

f(x)

2.5

f(0) = 2 <

r

1.5

0.5

0

Luas =

0.5

--025=1

1.5

2

n

2

= 2.732

f (2 ) = 0

x

2.5

1

0

1

2

Segi Empat Titik Tengah

fx

2.5

Area «1 • >/375 +1 ^a/1.75 — 3.259

1.5

f (.5 ) —^/3751

0

0.5

2 2 - — 2 — 1

n2

(1.5) —V175

x

1.5

2.5

2

0

1

2

Perbandingan Pendekatan Luas

n Sisi Kiri Sisi Kanan Trapesium Titik Tengah

2 3.732 1.732 2.732 3.259

4 3.496 2.496 2.996 3.184

8 3.340 2.840 3.099 3.157

10 3.305 2.905 3.105 3.152

20 3.229 3.029 3.129 3.145

50 3.178 3.098 3.138 3.143

100 3.160 3.120 3.140 3.142

500 3.146 3.138 3.142 3.1416 n

Pendekatan Geometrik Integral

y = f (x)

rf ( x ) dx

= Luas R1 - Luas R2 + Luas R3

Contoh

Gunakan pendekatan geometri untuk menghitung integral definit