Slide: Matriks

MATRIKS

Definisi Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk empat persegi panjang atau bujur sangkar yang ditulis di antara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau [ ].

A

m x n

a 11 a 12

a 21 a 22

a i1 a i2

a1j a 2j

a ij

a

m1

a

m2

a

mj

t

Kolom ke j matriks A

a

a

1n

2n

ain

a

mn

Baris ke i matriks A

Matriks dapat dinyatakan :

Am^n = \aj I di mana : aij = elamen / unsur matriks

mxn l y Jmxn "

i = 1,2,3,...m; indeks baris j = 1,2,3,...n; indeks kolom

Matriks di mana jumlah baris dan kolom sama disebut matriks bujur sangkar. Matriks bujur sangkar dengan n baris dan n kolom (ukuran n*n) mempunyai bentuk :

A

ai1 ai 2

an1 an 2

a

in

untuk i = j atau m = n disebut diagonal utama matriks A.

Matriks dapat didefinisikan sebagai kumpulan beberapa vektor.

Contoh :

Tiga buah vektor baris v1,v2,dan v3 ,

V = (3,4,5)

V3=(1,2,3 i—'^ A=

V2 = (4,6,8)

v

I

A =

3 4 5 1 2 3 468

Tiga buah vektor kolom U1,U2,dan u3

u1 =

U3 =

2 4

6 '7

8 9

, U2 =

1

3 5

, dan

1

b = [u,

U2 U3

B =

2 1 7 4 3 8 659

Matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut matriks kolom (atau vektor koiot ) dan matriks dengan satu baris disebut matriks baris (atau vektor barii).

Matriks baris (A1xn) : a = [

a2

a

n

]

Matriks kolom (Bnx1) : b

b.

b

m

Contoh:

a. Matriks baris : [3 2

b. Matriks kolom :

3 5

1] [a b c

1 5 7

d ]

Notasi matriks dinyatakan oleh huruf kapitai.

Contoh:

a =

9 -1 2 0

5 2

-3 7

-2 5 9 1 4 2 0 8

-1 2

-4

2 - 4 7 -9 -9 10

Ukuran (size) matriks adalah jumlah baris dan kolom dari matriks.

Dimensi (dimension) matriks adalah baris x kolom dari matriks.

Ordo (order) matriks adalah jumlah baris atau kolom dari matriks bujur sangkar.

Elemen (element) matriks adalah semua nilai yang ada pada baris dan kolom matriks.

Entri (entry) matriks adalah nilai yang ada pada baris dan kolom tertentu dalam matriks.

Elemen dan entri matriks dinyatakan oleh huruf kecil.

Contoh:

a =

1 2 3

6 5 4

7 8 9

B =

2 3 1 4

Matriks A mempunyai 3 baris dan 3 kolom (A3x3). Ukuran matriks A adalah 3 x 3, dimensi matriks A adalah 3 x 3, dan ordo matriks A adalah 3.

Elemen matriks A : 1, 2, 3, 6, 5, 4, 7, 8, 9

Entri matriks A : a13 = 3, a23 = 4, a32 = 8 dst.

Matriks B mempunyai 2 baris dan 2 kolom (B2x2). Ukuran matriks B adalah 2 x 2, dimensi matriks B adalah 2 x 2, dan ordo matriks B adalah 2.

Elemen matriks B : 2, 3, 1, 4

Entri matriks B

a11 = *2, a12 = 3, a21 = 1

12

21

a22 = 4

Jenis-jenis Matriks

A. Berdasarkan susunan elemennya

1. Matriks kuardat/bujur sangkar (square matrix) adalah matriks dimana jumlah baris (m) sama dengan jumlah kolom (n) atau m=n.

Contoh : a

" 1 2 3 "

6 "2 3"

 5 4 B =

7 8 9 1 4

2. Matriks nol (nullmatrix) adalah matriks dimana semua elemennya mempunyai nilai nol (0).

Contoh : o

" 0 0 0 "

0 0 0 0 0

 0 =

0 0 0 0 0_

3. Matriks diagonal (diagonalmatrix) adalah matriks dimana semua elemen di luar diagonal utamanya adalah nol (0) dan minimal ada satu elemen pada diagonal utamanya bukan nol.

Contoh

a=

1 0 0

0 0 0

0 0 9

B =

3 0 \

0 5

4. Matriks kesatuan/identitas (unit matrix, identity matrix) adalah matriks dimana semua elemen pada diagonal utamanya bernilai satu (1) dan elemen di luar diagonal utama bernilai nol

1 0 0

Contoh

i =

0 0

1 0

0 1

I =

1 0

0 1

5. Matriks skalar (scalar matrix) adalah matriks diagonal dimana elemen pada diagonal utamanya bernilai sama tetapi bukan satu atau nol.

Contoh : a

500 050 005

B =

40 04

6. Matriks tridiagonal (tridiagonal matrix) adalah matriks diagonal dimana elemen sebelah kiri dan kanan diagonal utamanya bernilai tidak sama dengan (0).

 ' 5 2 0

Contoh : a = 2 5 S 2

 0 2 5

7. Matriks segitiga bawah (lower triangular matrix, L) adalah matriks diagonal dimana elemen di sebelah kiri (bawah) diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol.

Contoh

L =

1 2

0

3

0 0

4 3 5

L =

"1 0" 2 1

8. Matriks segitiga bawah (upper triangular matrix, U) adalah matriks diagonal dimana elemen di sebelah kanan (atas) diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol.

 - 5 3 2 1 ri 21

Contoh : u = 0 4 i 1 ? U =

 0 0 0 3

9.

Matriks simetris (symmetric matrix) adalah matriks bujur sangkar dimana elemen ke atj sama dengan ke ajt atau (ajj=aj) untuk semua dan j.

^ ® ,

A T = A

Contoh

a=

1 4

2

10. Matriks miring (skew matrix) adalah matriks bujur sangkar dimana elemen ke atj sama dengan -ajt atau (a^a) untuk semua j dan j tetapi elemen diagonal utama tidak semuanya bernilai nol.

Contoh : m

7

- 5 -6

5 0

-4

6 4

M

= - M

11. Matriks miring simetris (skew-symmetric matrix) adalah matriks bujur sangkar dimana elemen ke a j sama dengan -ari atau (ajj=-aj) untuk semua i dan j dan semua elemen diagonal utama bernilai nol.

Contoh : m

0

5

6

5 0

4

6 4 0

M

M

T

T

B. Berdasarkan sifat dari operasi matriks

1. Matriks singular (singular matrix) adalah matriks yang determinan-nya bernilai nol.

Contoh : a

r 2 3 2 "

4 5 r2 4"

 1 B =

0 0 0 2 4

2. Matriks non singular (non singular matrix) adalah matriks yang determinan-nya bernilai tidak sama dengan nol.

Contoh : a

r2 2 1 "

1 2 2 r4 5

 B =

2 1 2 1 2

3. Matriks hermit (hermit matrix) adalah matriks bujur sangkar yang transpose conjugate-nya sama dengan matriks itu sendiri atau MT = m. dimana

M = conjugate komplek matriks m.

Contoh : m

 " 1 1 - i 2" " 1 1 + i 2" " 1 1 - i 2"

M = 1 + i 3 i M = 1 - i 3 - i Mt = 1 + i 3 i

 2 - i 0 2 i 0 2 - i 0

= M

4. Matriks hermit miring (skew hermit matrix) adalah matriks bujur sangkar yang transpose conjugate-nya sama dengan negatif matriks itu sendiri atau mt =-m.

Contoh : m

i 1 - i 2 -1 - i 3i i - 2 i 0

M =

i 1 + i 2 1 + i - 3i - i - 2 - i 0

Mt =

i -1 + i - 2 1 + i - 3i - i 2 - i 0

= - M

5. Matriks uniter (uniter matrix) adalah matriks bujur sangkar yang transpose-nya sama dengan invers conjugate-nya atau mt = m-1

atau mmt = mm-1 = i.

Contoh : m

0 - i i 0

MT =

M =

0 i

- i 0

0i

-i 0

MMT =

" 0 i" " 0 i" '- i2 0 " "1 0"

- i 0_ - i 0 _ 0 - i2 _ _0 1

6. Matriks ortogonal (orthogonal matrix) adalah matriks bujur sangkar yang transpose-nya sama dengan invers-nya atau MT=M-1 atau MTM =I

Contoh : m

" 1 1 " " 1 -1" " 1 1 "

V2 V2 mtm = V2 V2 V2 V2 "1 0

-1 1 1 1 -1 1 0 1

_V2 V2 _ _V2 V2 _ _V2 V2 _

= I

7. Matriks normal (normal matrix) adalah matriks bujur sangkar yang mempunyai sifat: mmt = mtm.

Contoh : m

" 1 2 + i " 1 2 - i Mt = " 1 2 + i

2 - i 1 M =

 2 + i 1 2 - i 1

MM1 = Mtm

" 1 1 + i " 1 1 + i" " 1 1 + i " 1 1 + i" 3 3 + 3i

1 - i 2 1 - i 2 1 - i 2 1 - i 2 3 - 3i 6 _

8. Matriks involunter (involunter matrix) adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan matriks identitas atau M2=I.

Contoh :

M =

- 2 1" - 2 1 - 2 1

V5 M2 = M M = 75 75 75 75 "1 0

1 2 1 2 1 2 0 1

V5 75 _ _V5 V5 _ _V5 V5 _

= I

9. Matriks idempotent (idempotent matrix) adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan matriks asal atau M2=M.

Contoh : m

" 2 -2 - 4" " 2 - 2 - 4" " 2 -2 - 4" " 2 -2 - 4"

-1 3 4 M2 = -1 3 4 -1 3 4 = -1 3 4

1 -2 - 3 1 -2 - 3 1 -2 - 3 1 -2 - 3

— M

10. Matriks nilpotent (nilpotent matrix) adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan matriks nol atau Mp=0, untuk p = bilangan bulat positif.

Contoh : m

 " 1 1 3" " 1 1 3" " 1 1 3" " 1 1 3" "0 0 0"

M — 5 2 6 M3 = 5 2 6 5 2 6 5 2 6 = 0 0 0

 - 2 -1 - 3 - 2 -1 - 3 - 2 -1 - 3 - 2 -1 - 3 0 0 0

11. Matriks elementer (elementary matrix) adalah matriks hasil transformasi elementer terhadap matriks kesatuan (I).

Contoh : I

 "1 0 0" 0 1 0" 1 0 0" "1 0 0"

I — 0 1 0 I12 = 1 0 0 I3(k) - 0 1 0 I23(k) 0 1 k

 0 0 1 0 0 1 0 0 k 0 0 1

 I12 = b12 I3(k) - b — y3( k ) k x b3 I23(k) — b2 + k x b3

Transpose Matriks

Definisi : Jika A adalah matriks ukuran rmn, maka transpose dari A, dinyatakan oleh AT , Af, atau A, didefisikan menjadi matriks nxm yang merupakan hasil dari pertukaran baris dan kolom dari matriks A.

Jika matrix Amxn =(aij), maka transpose matriks A dinyatakan :

AT = (bj), di mana bj = a

 a 11 a 12 ... a ln a 11 a 21 . a m1

A = a 21 a 22 l a 2n A T = a 12 a 22 . a m2

 a ml a m2 .a mn a 1n a 2n . a mn

 i L

Contoh :

Matriks asal : A =

Matriks transpose :

 an a\2 an

A = a2\ ®22 ^23

 a3l ^32 ^33

 "4 - 2 0 6

e = 2 - 3 1 9

 0 7 5 -1

 au a2\

At = a\2 ®22 ^32

 an ^23 ^33

 a24 ^34

 4 2 0"

et = -2 0 -3 1 7 5

 6 9 -1

a

14

a

24

a

34

B1

B =

2 3 1 4 5 6

, C = [1 3 5\ D = [4]

2 1 5

3 4 6

1 3 5

, DT = [4]

Sifat-sifat matriks transpose :

(1) Jika A dan B adalah dua matriks yang berorde sama, maka : (A ± B)T = At ± Bt .

(2) Jika a skalar dan A matriks, maka (aA)T = aAT

rji rji

(3) Jika A matriks, maka (A ) = A

(4) Jika A matriks bujur sangkar dan n integer positif, maka : (An) = (A )n

(5) Jika A, B dua matriks dengan ukuran masing - masing m x n dan n x p, maka (AB)T = BT AT

Partisi Matriks

Partisi matriks adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks.

Mathks-matriks yang ukurannya kecil hasil partisi matriks disebut sub matrik.

Partisi matriks digunakan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya besar menjadi matriks kecil sehingga lebih mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu, misalnya mencari invers matriks.

Setiap sub matriks hasil partisi selalu dapat dikembalikan ke dalam matriks asalnya.

Contoh :

 4 [-2 0 6

A = 2 1-3 1 9

 0 ! 7 5 -1

 "4 -2 0 6"

A = 2 -3 1 9

 0 7 5 -1

 "4 -2 0 ! 6"

A = 2 -3 1 ! 9

 0 7 5 1-1

 "4 -2 0 6"

A = 2 -3 1 9

 0 7 5 -1

Sub matriks

4. =[4]

Au=[-2 0

Sub matriks

An=[4 -2]

42=[0 6] Sub matriks

4i=[4 -2

42 = [6]

Sub matriks

[4 -2

A, =

11 2 -3

 "2"

 0 22 _

6]

-3 1 9 7 5-1

 "2 -3" "1 9"

^21 _ 0 7 22 _ 5 -1

0]

 "2 -3 f "9"

a2] - 0 7 5 22 _ -1

An —

0 6 1 9

4i=[0 v]

J22=[5 -l]

Contoh :

Sub matriks :

4i=W = ["2 0 6]

^21 ~

2 0

^22 ~

-3 1 9 7 5-1

A =

A ~A

ii

21

Sub matriks :

au=[4 -2]

al2 = [0 6]

2 -3" 0 7

^21 ~

^22 ~

1 9 5 -1

A =

A1 [_^12

"l A '

21 , 22

A

12 i ^m

?22

4 j-2 0 6 a= 2-J---3- -1---9-

0 ! 7 5 -1

4 -2 0 6" ^4= 2-3 1 9 0 7 5 -1

 4 -2 0 6

 2 -3 1 9

 0 7 5 -1

 "4 -2 0 6"

a = 2 -3 1 9

 0 7 5 -1

Kesamaan Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan nilai serta posisi elemen yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut ada ah sama.

Matriks AmXn = (a^) dan BpXq = (by) adalah sama jika dan hanya jika :

m=p dan n=q

a{j = bj, untuk semua i = 1, 2 , m; dan j =1, 2,..., n.

A = B

Contoh :

-1 3 5" " 1 3 5"

2 4 6 = 2 4 6

7 8 9 _ 7 8 9

A = B

CD 2

CD

A = B

A * B

1

2j

2 3 2 3

1 2 j 1 'j

 A * B

r 2 3" r2 3"

 *

i 2j 1 6j

Matriks A sama dengan B jika (dan hanya jika) J = 2.

berbeda nilai

berbeda posisi

Matriks

A + B