Topik Bahasan:
- Penjumlahan dan Pengurangan Matriks;
- Perkalian Skalar Matriks;
- Perkalian Perkalian Matriks Identitas;
- Aplikasi Perkalian Matriks;
- Pembagian Matriks;
- Perkalian Lansung (Direct Product);
Slide: Operasi Matriks selengkapnya bisa Anda pelajari pada konten di bawah ini.
Slide: Operasi Matriks
Dr. Ruminta Transcript
Operasi Matriks
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
• Matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika mempunyai ukuran atau dimensi sama.
• Matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
• Matriks hasil penjumlahan atau pengurangan mempunyai ukuran yang sama dengan matriks asal.
• Penjumlahan matriks adalah menambahkan elemen pada posisi yang sama pada matriks.
• Pengurangan matriks adalah mengurangi elemen pada posisi yang sama pada matriks.
Jumlah dua matriks A=(aij) dan B=(bij) yang berukuran mxn :
A + B = (aij+bij)m x n
untuk i = 1, 2, m; j 1, 2, • • n*
Selisih dua matriks A=(aj dan B=(bij) yang berukuran mxn :
A - B = (arbij)m x n
untuk i = 1, 2, m; j 1, 2, • • n*
Contoh
f
A =
V
3^ 6
- 6 10 - 5 J
2 -1 0 4
B =
4 9
v1 -1
7 -35
2
J
f 2 + 4 -1 + 7 3 + (-8) ^ f 66 - 5 1
A + B = 0 + 9 4 + 3 6 + 5 — 97 11
V- ?6 +1 10 + (-1) - 5 + 2 , V- 59 - 3 j
2 - 4 -1 - 7 3 - (-8)1 2 -8 11 ^
A - B = 0 - 9 4-3 6 - 5 = - 9 1 1
V- -6 -1 10 - (-1) - 5 - 2 j V- 7 11 - 7 j
Contoh 2
A =
" 4 8" "3 7 "
9 1 B= 5 0
5 0 5 2
A + B =
A - B =
4 + 3 8 + 7 9 + 5 1 + 0
5 + 5 0 + 2
4-3 8-7
9-5 1-0
5 - 5 0 - 2
7 15 14 1 10 2
1 4
1 1
0 - 2
Contoh 3
" 1 4 " "1 2" "2 6 "
2 5 + 3 4 — 5 9
3 6 5 6 8 12
"1 2" "1 2" 1 2" "3 6
+ +
_ 3 4 _ _ 3 4 _ 3 4 _ _ 9 12
4 0 5 -13 2
+
1 1 1
3 5 7
5 1 6 2 8 9
Contoh 4
-3 10 2 -10 8 -6 0 1 0
5 4 3 2 1 0 -8 -10 -4
-3-5 10-4 2-3 -10-2 8-1 -6-0 0-(-8) 1 -(-10) 0 -(-4)
-8 6 -1 -12 7 -6 8 114
-2 0 4 3 -10 12 3 -2 -2
+
-4 6 0
-15 2 -4
6 7 1
-2-4 0+6 4+0 3-15 -10+2 12-4 3+6 -2+7 -2+1
-6 6 4 -12 -8 8 9 -9 -1
Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
(a). A + B = B + A Komutatif \
(b). A + B + C = C + B + A
(c). (A + B) + C = A + (B + C) Asosiatif
(d). A + 0 = A
(e). A - 0 = A
J
Perkalian Skalar Matriks
Jika k adalah bilangan real (skalar), maka perkalian skalar dengan matriks A=(ai7)mXn :
r ka11 ka12 " ka1n \
k A = ka21 • • • ka22 ?• ka2 n • • • (kaij )mxn
V kam1 kam2 * " kamny
^ auk a12 k l • a1nk ^
Ak = a 21k • • • V am1k a22k L a 2 k l m2 ' a2 nk • • • • a k y mn J ( aijk ) mxn
Contoh 1
Jika A =
A 2 -1 0 4
V
3 6
- 6 10 - 5 j
dan k — 2 maka :
r
kA —
V
2 x 2 2 x (-1) 2 x 3a f 2 x 4 2 x 6 2x10 2x(-5)
2 x 0 2 x (-6)
v
V
4 -2 6
0 8 12
12 20 -10
\
j
f 2 x 2 -1 x 2 3 x 2 ^ f 4 -2 6 1
Ak = 0 x 2 4 x 2 6 x 2 — 0 8 12
V - 6 x 2 10 x 2 - 5 x 2 y v- 12 20 -10 j
Contoh 2
Jika A —
4 0 5 -13 2
dan B —
111
3 5 7
2 A — 2
4 0 5 -13 2
8 0 10 - 2 6 4
2 A - B — 2
4 0 5 1 1 1 7 -1 9
2 - —
-1 3 2 3 5 7 - 5 13
Jika A —
5 A — 5
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
maka 5 A
maka
5 x1 5 x 2 5 x 3 5 x 4 5 x 5 5 x 6
5 10 15 20 25 30
Sifat Perkalian Skalar Matriks
Jika A, B, C adalah matriks mxn, k1 dan k2 adalah
skalar maka :
(a) klA = Ak1
(b) (k^) A = kx(k2A)
(c) 1 A = A
(d) (-1)A = -A
(e) kj(A + B) = k1A + kxB
(f) (k1 + k2) A = kjA + k2A
Perkalian Matriks
Jika A matriks ukuran mxp dan B matriks ukuranpxn. maka perkalian matriks :
r
AB =
a11 a12
a21 a22
V am1
a
m2
f
P
\
Z aikb
kj
V k=1
y
mxn
a
1P
\
a
2 P
a
r
mp y
b11 b
12
b21 b22
Vbp1 bp 2
untuk semua i = 1, 2,...., m; j = 1, 2, p.
b
b
2 n
b
pn
a11 a12
a
an
a 2
1 p
a
ip
aa
mi m 2
a
mp
bu b
21
b1, b2j
b
1n
b
2n
b • • • b • • • b
Up1 Upj pn
c
11
ci1
c
m1
c1j
cij
cmj
c
1n
cin
c
mn
p
Dimana : cj — aA j + a2b2j + • + %bpj — Z akbj
k—1
Perkalian matriks : mengalikan elemen baris ke-i matriks A dengan elemen kolom ke-j matriks B dan menjumlahkannya.dimensi matriks hasil perkalian Dimensi:
AB
m*n
Contoh
1.
T2 -11
3 4 ^
x
2(3) + -1(5) 2(-9) + -1(7) 2(2) + -1 (-6) 3(3) + 4(5) 3(-9) + 4(7) 3(2) + 4(-6)
' 1 -25 10 29 1 -18
Contoh
-2 3
2. Jika A = 1 -4 dan
6 0
"-2 3
1 -4
6 0
-4 6 7 -13 -6 18
f
V
-1 3
-2 4
\
maka:
J
-2(-i;+3(-2) -2(3)+ 3(4) 1(-1 + -4 -2) 1(3)+-4(4)
6(-1)+0(-2) 6(3)+0(4)
r
3. A =
V
4 7 3 5
B
J
V
J
AB =
n ^9 - 2^ 6 8
r4 x 9 + 7 x 6 4 x (-2) + 7 x 8^ V 3 x 9 + 5 x 6 3 x (-2) + 5 x 6y
f
78 48
\
V57 34J
r
4. A =
V
5 8A 1 0 2 7
B
4 - 3 20
v
j
j
r
AB =
V
5 x (-4) + 8 x 2 5 x (-3) + 8 x 0
1 x (-4) + 0 x 2 1 x (-3) + 0 x 0
2 x (-4) + 7 x 2 2 x (-3) + 7 x 0
/
J
V
4 -15
4 -3
6 -6
J
5.
v0 2 y V
1 -1 02
v
yV
1 -1 02
\
y
/
6. A =
V
1 2 3
'1x1 + (-1) x 0 1 x (-1) + (-1) x 2a 0 x 1 + 2 x 0 0 x (-1) + 2 x 2
j
r1 - 3^ 0 4
v
j
r
V
r
3 2 1
\
B =
V
1 0 -2
0 2 1
-1 3 2
\
AB=
V
1x1+2 x 0+3x (-1) 1x 0+2 x 2+3x 3 3x1+2x0+1x(-1) 3x0+2x2+1x3
1x (-2)+2 x 1+3x 2 ^ 3x (-2) + 2 x 1 + 1x 2
y
V
- 2 13 6 2 7 - 2
A
y
Perkalian matriks adalah non-komutatif.
/
A =
V
0 0 0 1
\
j
/
, B =
V
00 10
A
J
AB =
(0 x 0 + 0 x 1 0 x 0 + 0 x
V
0 x 0 +1 x 1 0 x 0 +1 x 0
J
r
BA =
(0 x 0 + 0 x 0 0 x 0 + 0 x
V
1 x 0 + 0 x 0 1 x 0 + 0 x 1
J
V
r
V
00 10
00 00
\
J
\
J
Perkalian AB tidak sama dengan BA
Sifat Perkalian Matriks
Jika A adalah matriks ukuran mxn, matriks B dan C mempunyai ukuran yang memungkinkan untuk operasi pejumlahan dan perkalian maka :
(a). A(BC) = A(BC)
Asosiatif
(b). A(B + C) = AB + AC Distributif Kiri
(c). (B + C)A = BA + CA Distributif Kanan
(d). r(AB) = (rA)B radalah skalar
(e). ImA = A = AIn Asosiatif
mn
Perkalian Matriks Identitas
Matriks identitas atau matriks satuan :
-Matriks bujur sangkar.
-Elemen pada diagonal utama bernilai 1.
-Elemen di luar diagonal utama bernilai 0.
Matriks identitas dinyatakan oleh I atau In di mana n adalah orde matriks.
Perkalian suatu matriks dengan matriks identitas :
AI = A
IA = A
AI = I A = A
1 2 3 1 0 0" "4 5 6
4 5 6 0 1 0 = 3 6 9
7 8 9 0 0 1 7 8 9
1 0 0" "1 2 3" "4 5 6
0 1 0 4 5 6 = 3 6 9
0 0 1 7 8 9 7 8 9
1 0 0" "1 0 0" "1 0 0
0 1 0 0 1 0 = 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
Aplikasi Perkalian Matriks
1. Menghitung jumlah baris elemen Matriks. Perkalian matriks baris 1 dengan suatu matriks.
R = [1 1 1]
A =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
Perkalian matriks baris 1 dengan matriks A menghasil-kan jumlah total baris matriks A
RA = [1 1 1]]
1 4 7
2 5 8
3 6 9
= [6 15 24]
2. Menghitung jumlah kolom elemen Matriks. Perkalian suatu matriks dengan matriks kolom 1
A=
1 4 7
2 5 8
3 6 9
C =
1 1 1
Perkalian matriks A dengan matriks kolom 1 mengha-silkan jumlah total kolom matriks A
"1 4 7 " 1 "12"
AC = 2 5 8 1 = 15
3 6 9 1 18
3. Menghitungperkalian skalar (Dot /inner product) dua vektor.
Perkalian matriks baris (vektor baris) dengan matriks kolom (vektor kolom) :
a
= [3 4 6]
b =
5 2 8
Perkalian matriks a dan b menghasilkan :
'5" 2 8
ab = [3 4 6]
= (3 x 5 4 x 2 6 x 8)= 71
Merupakan jumlah perkalian elemen-elemen pada posisi yang sama dalam kedua vektor.
4. Menghitungperkalian luar (outer product) dua vektor.
Perkalian matriks kolom (vektor kolom) dengan matriks baris (vektor baris) :
a
= [3 4 6]
b=
5 2 8
Perkalian matriks b dan a menghasilkan :
ba =
"5" "15 20 30"
2 [3 4 6] = 6 8 12
8 24 32 48
Merupakan matriks hasil perkalian setiap pasangan elemen dari kedua matriks.
5. Menghitungjumlah kuadrat elemen matriks baris.
Perkalian matriks baris (vektor baris) dengan transpose-nya :
3
= [3 4 6]
a
a =
4
6
Perkalian matriks a dan a' menghasilkan :
3
(2 + 42 + 62 )= (9 +16 + 36) = 61
aa
'=[3 4 6]
4 6
Merupakan jumlah kuadrat dari elemen-elemen matriks baris.
6. Menghitungjumlah kuadrat elemen matriks kolom.
Perkalian matriks kolom (vektor kolom) dengan transpose-nya :
5
= [5 2 8]
a=
2 8
a
Perkalian matriks a' dan a menghasilkan :
5
(52 + 22 + 82) = (25 + 4 + 64) = 93
a a
= [5 2 8]
2 8
Merupakan jumlah kuadrat dari elemen-elemen matriks kolom.
7. Mengdeskripsikan sistem persamaan simultan. Jika ada sistem persamaan simultan seperti berikut:
px1 + qx2 + rx3 = M ax1 + bx2 + cx3 = N dx1 + ex2 + fx3 = O
Sistem persamaan simultan tersebut dapat dinyata-kan dengan perkalian matriks :
AX = B
di nama :
p q r x1 " M "
A = a b c X = x2 B = N
d e f _ _ x3 _ O
Pembagian Matriks
Pembagian matriks biasanya dilakukan pada matriks bujur sangkar.
Jika A dan B matriks ukuran m*n (m=n), maka pembagian matriks A dengan matriks B :
A
Cmxn = ^ ^ C = AB
mxn
Dmxn = AnxL ^ D = B.A-1
mxn
A-1 dan B-1 masing-masing invers matriks A dan B.
A.A-1=I dan B.B-1=I
di mana I = matriks identitas
mc
A =
2 4 6 8
c=A=
B
2 4 6 8
1 2 3 4
C =
B =
1 2 3 4
^ C =
2 4 1 2
2
6 8 _ _3 4
2 4" 1 2"
6 8 3 4
= 2
"2 4" "1 2" -1 " 2 4"
_6 8 _ _3 4 _6 8 J
1 0 0 1
= 21
- 2 3
1
-1
"2 0" "1 0"
= 2
_0 2 _0 1_
Perkalian Lansung (Direct Product)
Perkalian langsung (direct) matriks disebut juga perkalian Kronecker matriks ):
Jika A matriks ukuran m*n dan B matriks ukuran pxq, maka perkalian langsung (direct/ Kronecker) A®B adalah matriks ukuran mp^nq yang digambarkan sebagai matriks partisi.
a11 B a12 B . ?• ainB
A ® B = mxn pxq a21B • • • a22 B . • • • • 4 ?• a2 nB • • • •
a 1B m1 a 0B m2 .. a B mn
"1 2 2" "1 1 2"
A = 3 1 4__ B = 2 2 1 __
0 2 1 _1 2 1
"1 1 2 2 2 4 2 2 4"
2 2 1 4 4 2 4 4 2
1 2 1 2 4 2 2 4 2
3 3 6 1 1 2 4 4 8
A3x3 ® B3X3 6 6 3 2 2 1 8 8 4
3 6 3 1 2 1 4 8 4
0 0 0 2 2 4 1 1 2
0 0 0 4 4 2 2 2 1
0 0 0 2 4 2 1 2 1
Contoh 2
1 -1 1 2
" 1 2"
A = -1 3 B = 3 2 0 1
— — -1 0 2 3
A2x2 ® Bix4
" 1 -1 1 2 2 -2 2 4"
3 2 0 1 6 4 0 2
-1 0 2 3 -2 0 4 6
-1 1 -1 -2 3 -3 3 6
- 3 -2 0 -1 9 6 0 3
1 0 -2 -3 -3 0 6 9 _
Operasi Baris Elementer
Definisi :
bjj = menukar baris ke-z dengan baris ke-y. bi(s)= mengalikan baris ke-z dengan s (s ^ 0) bij(s)=ganti baris ke-z dengan baru yang merupa-kan baris ke-z ditambah baris ke-y yang dikalikan dengan s. = bi + s.bj
Operasi baris elementer digunakan pada operasi eliminasi Gauss atau eliminasi Gauss Jordan.
onto
1.
2.
1 2 3
4 5 6
0 5 7
"4 5 6'
3 6 9
0 5 7
1 0 0" 0 1 0 0 0 1
b
12
b23(4)
b2=b2+4.b3
b32(4)
b3=b3+4.b2
1 0 0 0 1 0 0 4 1
b
4 5 6 1 2 3 0 5 7
4 5 6 3 26 37 0 5 7
2(3)
4 5 6 3 6 9 0 5 7
b32(-4) -?
b3=b3+(-4)b2
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Slide Matematika dan slide-slide lainnya yang ada di Site SmartStat dapat dipelajari pada tautan di bawah ini:
Daftar Slide Matematika II
Daftar Seluruh Slide
Slide lainnya bisa Anda download :di sini
