Slide: Pengantar Diferensial

Tangen Sebagai Limit Secan

Diferensiasi menghitung kemiringan garis tangen pada kurva dari fungsi f(x) pada titik tertentu x0.

Kemiringan (Slope) garis tangen merupakan limit tertentu dari garis secan.

Garis secan memotong grafik dari fungsi f(x) pada dua titik atau lebih.

Pada gambar garis secan memotong grafik pada titik x=x0 dan x=x0 + h.

Ketika h mendekati 0, garis secan mendekati garis tangen pada titik

(x0, W).

x,

0

x0+h

Slope garis secan

Slope Garis Secan (1)

Slope garis secan yang memotong grafik dari fungsi f(x)=x pada titik x=x0 dan x=x0 + h dapat dihitung menggunakan notasi :

x

0

x0+h

Slope Garis Secan (2)

Slope garis secan yang melalui titik (x, f(x)) dan (x+h, f(x+h)) merupakan tingkat perubahan rata-rata pada interval [x, x+h] atau hasil bagi perbedaan.

m_ =

sec

f(x+h)- f(x) h

Slope Garis Secan (3)

Contoh

Solusi

Hitung slope garis secan pada titik (-1,1) dan (2,4) dari grafik fungsi f(x) = x2.

Slope garis secan

= f(xo + h)- f(x0) h

= f(2) - f(-1) 2 - (-1)

= 4 -1 - 3 = 1

" 3 - 3-Persamaan garis secan : y-4 = 1(x-2),

y = x+2.

-1            2

Slope garis tangen

Slope Garis Tangen (1)

Slope garis tangen yang memotong grafik dari fungsi f(x)=x pada titik x=x0 dan x=x0 + h dapat dihitung menggunakan notasi :

f(x)

= lim

h^ 0

f(xo + h) - f(x0) h

Garis tangen merupakan limit dari garis secan ketika h mendekati 0. Limit tersebut ada dan finitif.

Slope Garis Tangen (2)

Slope garis tangen yang melalui (x, f(x)) sama dengan tingkat perubahan sesaat pada titik x, atau derivative.

mtan - f'(x) - [im

h^ 0

f(x + h) - f(x) h

Slope Garis Tangen (3)

Contoh

Hitung slope garis tangen pada titik (1,1) dari grafik fungsi f(x) = x2.

Solusi

imf(x. + h) - f(xo) = Um(1 + h)2 -1

2

h^0 h

i2 t 2

h^0 h

22

(1 + h)2 -12 1 + 2h + h2 -1 lim-= lim

h^0

h

h^ 0

h

2hi 2

lim-= lim( 2 + h) = 2

h^ 0 h h^ 0

Persamaan garis tangen : y-1 = 2(x-1),

y = 2x-1.

Pendekatan Linier Fungsi

Grafik dari fungsi f(x) = x2 dan garis tangennya pada (1,1) untuk skala yang berbeda.

0.5x5

                0.77x.27              ?         0.9

Mendekati pada titik (1,1), garis tangen makin mendekati grafik dari fungsi. Semakin dekat ke titik (1,1) pendekatannya makin baik.

Tingkat Perubahan

Tingkat pjerubahiain da ri titik x0 ke x0 + h dapat ditulis :

f ( + h)-f () h '

Jika x = x0 + h, maka :

f (xo + h )-f (xo ) = f (x )-f (xo ) = A f (xo)

h             x - x0     Ax

Ax = x - x0 menunjukkan pembahan nil^i vairicibenl x Af(x00 = f(xc0 + h) -f(x0) menun|ukkan perubahan nilai fungsi f.

Tingkat Perubahan Rata-rata

Tingkat perubahan rata-rata dari fungsi pada interval [a, b] adalah hasil bagi perbedaan.

Af _ f(b) - f(a)

Tingkat perubahan rata-rata fungsi f: ~~~ _---

Ax           b — a

Af

Ax

_ Slope garis yang melalui titik P dan Q

Satuan : Satuan dari tingkat perubahan rata-rata adalah satuan dari f(x) per satuan dari x.

Contoh 1

Jika f(3) = -1 ton dan f(5) = 0.5 ton, dan jika x satuannya tahun, tentukan tingkat perubahan rata-rata dari f pada interval [3, 5].

Solusi

Tingkat perubahan rata-rata pada [3, 5] :

= f(5) - f(3) 5 - 3

0.5 - (-1) --^—- - 0.75 ton per tahun

Contoh 2

Jika f(x) = x3 + x. Tentukan tingkat perubahan pada interval [2, 4], [a, b], dan [a, a+h].

Solusi

f(4) - f(2)

Tingkat perubahan pada interval [2, 4] _-

4 - 2

_             _ 29

2

Tingkat perubahan pada interval [a, b] _ f(b) - f(a)

b - a

_ (b3 + b) - (a3 + a) b - a

Tingkat perubahan pada interval [a, a+h]

_ f(a + h) - f(a) (a + h) - a

_ ((a + h)3 + (a + h)) - (a3 + a) _ h

_ 3a2h + 3ah2 + h3 + (® + h)) - (0^+0)) _ h

_ (3a2h + 3ah2 + h3 + h) _(&(3a2 + 3ah + h2 +1) _ h " h

_ 3a2 + 3ah + h2 +1

Tingkat Perubahan Sesaat

Tingkat perubahan sesaat merupakan tingkat perubahan rata-rata pada interval yang sangat pendek. Tingkat perubahan sesaat dari fungsi f(x) pada x=a disebut derivative.

Tingkat perubahan sesaat fungsi f(x) pada x=a didefinisikan limit dari tingkat perubahan rata-rata pada interval [a, a+h], ketika h mendekati 0.

f(a+h)- f(a) Tingkat perubahan sesaat    h

(Dibaca "limit ketika h mendekati 0 dari hasil bagi perbedaan")

Tingkat Perubahan Sesaat (2)

Tingkat perubahan sesat disebut derivative dari f(x) pada x=a, yang ditulis sebagai f(a) (baca "f prime dari a").

f(a) - lim f(a + h) - f(a)

h^0 h

Satuan: Satuan f ' (x) adalah satuan f(x) per satuan x.

Tingkat Perubahan Sesaat

Sebagai Pendekatan Numerik (1)

Contoh 1

Nilai US Dolar pada di pasar valuta asing selama periode 5 hari. Jika nilai pertukaran US Dolar terhadap Rupiah dinyatakan dalam fungsi :

R(t) = 7,500 + 500t - 100t2 rupiah,

(dimana t waktu dalam satuan hari, t = 0 menunjukan nilai Dolar pada hari senin siang).

Tingkat perubahan rata-rata nilai Dolar

h             1              0.1          0.01        0.001     0.0001

Tingat Perubahan Rata-rata di [1;1+h]    200         290         299         299.9     299.99

Tingkat perubahan rata-rata, makin dekat dan dekat ke 300 rupiah per hari ketika lebar interval (h) mendekati 0. Nilai tersebut menunjukkan bahwa pengukuran pada interval waktu yang pendek di sekitar Selasa siang (t = 1), Dolar mengalami kenaikan pada tingkat mendekati 300 rupiah per hari. (Nilai Dolar naik pada tingkat perubahan sesaat sekitar 300 rupiah per hari pada Selasa siang)

Proses meletakan h lebih kecil dan lebih kecil disebut limit f(x) ketika h mendekati 0. Kita tulis h^0 sebagai pengganti pernyataan "h mendekati 0." Mengambil limit dari tingkat perubahan rata-arata disebut tingkat perubahan sesaat.

Contoh 2

Jika f(x) = x2 +4x+4, tentukan tingkat perubahan sesaat pada x di sekitar a=1.

h             1              0.1          0.01        0.001     0.0001

Tingat Perubahan Rrtr-rrtr di [1;1+h]       7              6.1          6.01        6.001     6.0001

___f'(a) - 6

Contoh 3

Jika f(x) = 2x2-9, tentukan tingkat perubahan sesaat pada x di sekitar a=3.

h             1              0.1          0.01        0.001     0.0001

Tingat Perubahan Rata-rata di [3;3+h]    14           12.2        12.02     12.002   12.0002

f'(a) -12

Tingkat Perubahan Sesaat

Sebagai Pendekatan Numerik (2)

Menghitung pendekatan nilai f '(a) menggunakan rumus :

f'(a)* f(a+h)- f(a)

h

Dengan nilai h sangat kecil (simbol " berarti "mendekati sama"). Nilai h = 0.0001 sering digunakan untuk mendapatkan nilai pendekatan yang baik)

Keseimbangan Hasil Bagi Perbedaan :

Rumus alternatif untuk perhitungan yang lebih akurat dengan

menggunakan nilai h = 0.0001.

b f(a+h) -f(a -h)

2h

Contoh 2

Jika f(x)=2x2-x, tentukan tingkat perubahan sesaat pada x di sekitar a=5.

h             1              0.1          0.01        0.001     0.0001

Tingat Perubahan Rata-rata di [5; 5+h]   21           19.2        19.02     19.002   19.0002

f '(5) °19

Contoh 2

Jika f(x) = 2x2 - x , tentukan tingkat perubahan sesaat pada x di sekitar a=5.

/?(a) - f(5 + h)- f(5-h)

r+u

2h

Untuk h=0.0001, maka

f ^ f(5 + 0.0001) - f(5 - 0.0001)

~             2 x 0.0001

f(5.0001)- f(4.9999)

0.0002 (45.0019)- (44.9981)

0.0002

0.0038

rsj

0.0002 19

Contoh 2

Hitung f '(x) dari fungsi f(x) = 2x2 - 4x + 1, pada titik x = 2. Gunakan Tabel

Hasil bagi perbedaan untuk x = 2 :

- f(2 + h) - f(2) h

_ 2(2 + h)2 - 4(2 + h) +1 - (2(2)2 - 4(2) +1) - h

h             1              0.1          0.01        0.001

Hasil bagi perbedaan      6              4.2          4.02        4.002

Semakin cepat ke titik x = 2 diperoleh f '(2) ° 4

Pendekatan cepat:

^ f(2 + 0.0001) - f(2)

0.0001

f(2.0001) - f(2) 0.0001

L00040002 -1 = 4.0002 0.0001

Tingkat Perubahan Sesaat

Sebagai Pendekatan Geometrik

Pembesaran grafik suatu titik pada grafik suatu fungsi:

1                                                                             

I                                                                              

                /                                                             

I               /                                                             

                0.            5                                             

Suatu kurva akan menjadi lurus (linier) jika kurva tersebut diperbesar

1                                                                             

I                                                                              

                /                                                             

                /                                                             

                0.            5                                             

Sebelum Diperbesar

Setelah Diperbesar

Pembesaran suatu titik pada kuva grafik sehingga dapat mengukur slope atau kecuraman grafik dengan menggunakan "Kalkulator Gambar'.

Prosedur menghitung slope kurva di titik (a, f(a)) pada suatu kurva secara geometris :

1.            Gambar fungsi di sekitar titik (a, f(a)), makin dekat ke titik tersebut makin baik.

2.            Penentuan abatas di sekitar titik a : Batas terendah a = xMin = a - 0.0001 Batas tertinggi a = xMax = a + 0.0001

3.            Hitung f(a - 0.0001) dan f(a+0.0001), gunakan nilai tersebut untuk koordinat yMin dan yMax (yang lebih kecil = yMin dan yang lebih

besar = YMax).

4.            Gambat titik (xMin, YMin) dan (xMax, YMax) pada sumbu x-y. Untuk mengukur slope gunakan batas-batas pada sumbu x : x1 = a - 0.0001 menunjukkan xMin

x2 = a + 0.0001 menunjukkan xMax

5.            Slope perubahan sasaat atau slope tangen :

y2 - yi f (a + 0.0001) - f(x - 0.0001) f(a + 0.0001) - f(x - 0.0001)

m ------

x2 - x2 (a + 0.0001) - (a - 0.0001) 0.0002

Contoh

Gunakan persamaan f(x) = x3- 2x2 + x, untuk menduga f '(3) secara grafik.

1. Titik pusat x = 3, gunakan :

Xmin = 3-1 = 1, Xmax = 3+1 = 3.

Aproksimasi nilai Ymin dan Ymax dengan memilih tiga nilai f(2), f(3), f(4).

2. Perbesardengan menggunakan :

Xmin = 3-0.0001 = 2.9999, Xmax = 3+0.0001 = 3.0001

Menduga nilai Ymin dan Ymax dengan memilih yang terkecil dan yang tebesar dari tiga titik f(2.9999), f(3), f(3.0001).

Diperoleh titik: (2.9999, 11.99840007) (3.0001, 12.00160007)

Kemiringannya :

f(3.0001)- f(2.9999)

m =-

3.0001 - 2.9999

= 12.00160007 -11.99840007

= 3.0001 - 2.9999 = 16

Jadif '(3) mendekati 16.

Tingkat Perubahan Sesaat

Sebagai Pendekatan Aljabar

derivative dari fungsi f pada titik x adalah slope garis tangen yang melalui garis (x, f(x)), atau tingkat perubahan sesaat dari fungsi f di titik x.

f(x) = limf(x + h> - /(x>

h^0 h

Ilustrasi slope tangen atau derivative di titik P pada kurva :

Derivative merupakan fungsi dari x, dinyatakan f '(x), menunjukkan sangat tergantung pada nilai x

f(1) = slope garis tangen di titik x = 1 pada kurva. f(-4) = slope garis tangen di titik x = -4 pada kurva.

Prosedur menghitung Derivative Secara Aljabar :

1.            Tulis definisi dari derivative.

r(x) = f + h) - /(x)

h^0 h

2.            Substitusikan untuk f(x+h) dan f(x).

3.            Sederhanakan penyebut yang mengandung faktor "h". Kemudian terakhir masukan nilai "h" untuk nilai 0.

Contoh 1

Tentukan f "(x) dari fungsi f(x) = 2x2 - 4x + 1, dengan pendekatan aljabar.

r(x) = limf(x+h) - f(x)

h^0 h

(2(x + h)2 - 4(x + h) +1) - (2x2 + 4x -1) = lim-

h^0 h

2x2 + 4xh + 2h2 - 4x - 4h +1 - 2x2 - 4x -1

lim

h^0 h 4xh + 2h2 - 4h

lim

h^0 h

h(4x + 2h - 4) = lim-

h^0 h

= lim( 4x + 2h - 4)

= 4x - 4

Contoh 2

Tentukan tingkat perubahan sesaat dari f(x) = x2 - 3x + 4 pada x = 2.

r(x) = lim f(X + h) - f(x)

? 0 h

(x + h)2 - 3(x + h) + 4 - (x2 - 3x + 4)

h

x2 + 2xh + h2 - 3x - 3h + 4 - x2 + 3x - 4

h

^x2 + 2xh + h2 - 3x- 3h +4-

h

2xh + h2 - 3h h

.h(2x + h - 3) h

2x + h - 3

2x-3 + h Jadi f'(x) = lim(2x- 3 + h) = 2x- 3

h 0

Contoh 2

Tentukan f '(x) dari fungsi: f (x) = x2 + 6x

f (x + h) - f (x)

h mil o

h

(x + h)2 + 6(x + h) - (x2 + 6x)

h lim0

h M0

h M0

lim

h

x2 + 2 xh + h2 + 6 x + 6 h - x2 - 6 x

h

2xh + h2 + 6x+ 6h - 6^

h

2 xh + h 2 + 6 h

h

h (2 x + h + 6)

h limo-

h Mo

h

h(2 x + h + 6) h

h lim 0 2 x + h + 6 = 2 x + 6

Contoh 2

Tentukan f '(x) dari fungsi: f (x) = x3 - 6x + 2

1.            f (x + h) = (x + h)3 - 6 (x + h) + 2

= x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 - 6x - 6h + 2

2.            f (x + h) - f (x) = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 - 6x - 6h + 2 -(x3 - 6x + 2

= x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 - 6x - 6h + 2 - x3 + 6x - 2 = 3x2h + 3xh2 + h3 - 6h

3 f (x + h) - f (x) = 3x2h + 3xh2 + h3 - 6h h h

„ ... N f(x + h)- f(x) 3x2h + 3xh2 + h3 -6h 4. f'(x) = lim —-7 J w = lim-

h^ 0 h h^ 0 h

h (3 x2 + 3 xh + h2 - 6

lim —-- = lim (3 x2 + 3 xh + h2 - 6

h ^ 0 h h ^ 0^

3 x 2 – 6