Slide: Rank dan Trace Matriks

Rank Matriks

Matriks A ukuran mxn :

1. Rank dari matriks A ukuran m*n adalah jumlah maksimum dari vektor baris (kolom) yang bebas inier (independen linier).

2. Rank dari matriks A adalah dimensi dari vektor baris (kolom) non zero.

3. Untuk matriks A, jika vektor baris dan vektor kolom mempunyai dimensi yang sama, maka dimensi tersebut merupakan rank matriks.

4. Rank dari matriks A dinyatakan oleh rank(A) atau r(A).

rank(A) o r (A)

Rank matriks dapat digunakan untuk mengetahui apakah suatu matriks itu singular atau non singular. Jika matriks A dengan dimensi nxn, maka :

Rank (A) = n : matriks A adalah non singular. Rank (A) < n : matriks A adalah singular.

Teknik Menhitung Rank

A. Metode Minor Matriks

Jika minor matriks A dengan baris m determinannya tidak sama dengan nol dan jika minor matriks untuk baris m+1 determinannya sama dengan nol, maka matriks A mempunyai rank sebesar m atau rank(A)=m

r

A =

a

11

a

12

a

A

1n

a

21

a

22

a

2n

V am1 am 2

a

^ Jika MmX j * 0 dan M{m+0xj = 0,

mn J

maka rank (A) = m, di mana m = indeks baris

M = minor matriks A

Contoh 1.

Tentukan rank dari matriks berikut,

0 2 1 ^

A =

V

3 6 3 5 10 5

J

(1). ^3X3 =

1 2 1 3 6 3 5 10 5

= (30 + 30 + 30) - (30 + 30 + 30) = 0

(2). M2x2 =

(3). M2x2 =

1 2 36 1 1

33

= (6) - (6) = 0 (4). M2x2 =

= (3) - (3) = 0 (5). M2x2 =

2 1 63 1 2 5 10

= (6) - (6) = 0

= (10) - (10) = 0

(6). M2x2 =

(7). M2x2 =

11 5 5

2 1 10 5

= (5) - (5) = 0

= (10) - (10) = 0

(8). M 1x1 = 1 = 1

(9). M 1x1 = 5 = 5

Karena M1x1 ? 0, maka rank(A)=1

Jadi rank (A) = 1.

Contoh 2.

Tentukan rank dari matriks berikut,

 f 1 1- 1 3

A = 2 - 2 6 8

 V3 5- 7 8

 1 1 -1

M3x3 = 2 -2 6 =

 3 5 -7

 1 -1 3

• M3x3 = -2 6 8 = <

 5 - 7 8

\

= (14 +18 -10) - (6 + 30 -14) = 0

= (48 - 40 + 42) - (90 - 56 +16) = 0

 1 1 3

(3). M3x3 = 2 -2 8 = (-16 + 24 + 30) - (-18 + 40 +16) =

 3 5 8

 1 -1 3

(4). M3x3 = 2 6 8 = (48 - 24 - 42) - (54 - 56 -16) = 0

 3 - 7 8

 1 1

(5). M 2x2 = 2 -2 = (-2) - (2) = -4

(6). Mm =

1 -1

- 2 6

= (6) - (2) = 4

Karena M2x2 ? 0, maka rank(A)=2 Jadi rank (A) = 2.

Contoh 3.

Tentukan rank dari matriks berikut,

A =

3 - 2

1

- 2 4

2 0 3

(1). -M 3x3 =

4 3

5 2

3 - 2 4

1

2 3

- 2 0 5

= (30 +12 + 0) - (-16 + 0 -10) = 68

(2). -3x3 =

1 2 3 -2 0 5 4 3 2

= (0 + 40 -18) - (0 +15 - 8) = 15

Karena M3 3-£ 0, maka rank(A)=3

Contoh 4.

Tentukan rank dari matriks berikut,

A =

4 5 6 2 1 3 1 0 0

M 3x3 =

4 5 6 2 1 3 1 0 0

= (0 + 15 + 0) - (6 + 0 + 0) = 9

Karena M3x3 £ 0, maka rank(A)=3

B. Operasi Baris Elementer

Transformasi baris elementer terhadap baris dan kolom matriks sehingga membentuk matriks Hermit Canonical:

a. Setiap elemen di atas atau di bawah diagonal utama bernilai nol (0).

b. Elemen pada diagonal utama bernilai satu atau nol.

Pada matriks tersebut membentuk matriks :

a. Identitas (I) atau

b. Segitiga atas (U)

dengan baris dan kolom sebesar m, maka matriks A mempunyai rank sebesar m atau

rank(A)=m

(

A =

^11 ^12

^21 ^22

a

r

1 n

a

QBE

2 n

1 0

a

m/? y

v

0

rank(A) = m

A+au

a

A =

^11 ^12

^21 ^22

a

1 n

a

2 n

a

QBE

0

y

V

0

rank(A) = m

0 •

1 •

0

0 ••• 1

(In,

\

0

J

Oy

* . 1 •

*

0 ••• 1

(u

1 m

0 0

v

J

J

Contoh 1.

Tentukan rank dari matriks berikut,

2 10

A =

1 5 5 20

 "2 10" b1 =b3 "5 20" - 2 b2 + b3 "2 10"

A = 1 5 1 5 1 5

 5 20 5 10 0 0

1 4" "1 4" "1 0"

 -b + b2 - 4 b2 +b

1 5 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0

X bi

I

2

0

Jadi rank (A) = 2.

Contoh 2.

Tentukan rank dari matriks berikut,

2 1 1

A =

A =

3 2 4 2 1 3

2 1 3 2 21

1

4 3

1/ h

/2 h1

~V2 h1 + h 2

h1 + h3

1

0 0

12 12 0

12

5/2 2

-h+h

1 0 2

0 1/2 5/2 0 0 2

1 0 -2" —3 +h 1 -y2 h3 + h2 "1 0 - 2" 1/ h /2h3 "1 0 0"

0 1 5 0 1/2 5/2 0 1 0

0 0 2 0 0 2 0 0 1

2h,

^ 13

Jadi rank(A) = 3.

Contoh 3.

Tentukan rank dari matriks berikut,

A =

'1

2 - 2

v '1

3

A =

V

3

1 -1 3

2 6 8

5 -7 8

\

1 -1 3

2 - 2

6 8

5 - 7 8

- 2 b + b2 3b1 + b3

J

3

^ 1 - 1 0 1 -2 -X V0 0 0 0

\

/

V

1 1 -1 3

0 - 4 8 2

0 2 -4 -1

^ X b2 + b3 - % b2

J

Jadi rank (A) = 2

J

Contoh 4.

Tentukan rank dari tiga vektor kolom berikut,

A =

3 - 2 4

1 2 3

- 2 0 5

4 3 2

" 1 2 3"

0 1 5/

 /8 (-4)

0 4 11 7

0 - 5 - 7 /

3 - 2 4 1 2 3

- 2 0 5

4 3 2

12 3 0 1

00 %

00 -3VS

5

" 1 2 3" V(-3) " 1 2 3"

3 - 2 4 /W) 0 - 8 - 5

 / )x(-4)

- 2 05 0 4 11

4 3 2. 0 - 5 - 7

(31/68)

1 2 3 0 1 5

0 0 17

00

2 0

=(-1/8)

Jadi rank (A) = 3

Contoh 5.

Tentukan rank dari matriks berikut,

 1 2 0 4 5 -3 _ 1 - 2 0 -4 -5 3"

A = 3 2 - 7 - 5 2 2 0 4 1 6 4 1 A = 3 2 - 7 - 5 2 2 0 4 1 6 4 1

 4 - 9 2 -4 -4 7 4 - 9 2 -4 -4 7

 " 1 -2 0 -4 -5 3" 1 -2 0 -4 -5 3

A= 0 -1 2 12 16 - 5 A 0 1 -2 -12 -16 5

 0 -1 2 12 16 - 5 A= 0 -1 2 12 16 5

 0 -1 2 12 16 - 5 0 -1 2 12 16 5

1 0 - 4 - 28 - 37 13

A =

0 1 -2 -12 -16 5

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

Jadi rank (A )= 2

Sifat Rank Matriks

Jika matriks A ukuran mxn, maka :

rank (A) =rank (AT) Jika A matriks ukuran m*n :

Maka vektor baris matriks A adalah bebas linier jika dan hanya jika

rank A = n.

Maka vektor kolom matriks A adalah bebas linier jika dan hanya jika

rank A = m.

Nullitas Matriks

Nullitas matriks adalah dimensi ruang nol (nullspace) pada matriks. Nulitas matriks dinyatakan oleh null (A).

Jika matriks A ukuran mxn, maka :

rank (A) + null (A) = n

1. null A adalah jumlah variabel non pivot (baris zero)

2. rank A adalah jumlah variabel pivot (baris non zero)

Jumlah variabel non pivot dan pivot adalah n (jumlah baris)

Contoh :

A =

1 * 0 0 0 0 00

0 1 0 0

* 0 * 0 01 00

* * *

0

maka :

rank (A) = 3 null (A) = 1

/ 1 1 -1 31

B = 0 1 - 2 - 1/ /2 maka : rank (B) = 2

\ 0 0 0 0 J null (B) = 1

 " 1 2 3"

C = 0 1 V /8 / maka : rank (C) = 3

 0 0 '72 null (C) = 1

 0 0 0

D =

1 0 - 4 - 28 - 37 13

0 1 - 2 -12 -16 5 maka : rank (D) = 2

0 0 0 0 0 0 null (D) = 2

0 0 0 0 0 0

Manfaat Konsep Rank dan Nullitas Matriks

Konsep rank dan nullitas matriks dipergunakan untuk mengetahui kemungkinan pemecahan (solusi) dalam sistem persamaan linier simultan.

1. Mengetahui konsistensi sistem persamaan linier simultan. AX = B adalah konsisten jika dan hanya jika

rank(A\B) = rank(A)

2. Mengetahui jumlah parameter dalam pemecahan atau solusi sistem persamaan linier simultan.

Jika pada sistem persamaan linier simultan AX = B dengan jumlah persamaan m dan parameter yang tidak diketahui n adalah konsisten dan rank(A) = r, maka solusi pemecahan persamaan mempunyai n - r parameter.

Flow Chart Pemecahan Sistem Persamaan Linier Homogen Simultan

Flow Chart Pemecahan Sistem Persamaan Linier Non Homogen Simultan

Jika matriks A ukuran mxn, maka hanya ada satu solusi untuk AX=B jika dan hanya jika rank (A) =n

Contoh 1. Evaluasi kemungkinan pemecahan dari matriks

sistem persamaan linier berikut:

(a) A =

2 4 - 3 5 11 11 4 6 -17

(c) A =

21 1 0 0 0 01

8 0 7 0

(b) A =

2

4

- 3

5

1 1 1 1

4 6 -1 7

(d) A =

2 10 0 10 0 1 8070

Solusi:

(a) rank A (4-3) = 1

^ pemecahan persamaan tidak unique

(b) kolom 3 = kolom 1 + 2xkolom 2 ^ rank A = 2 ^ null A = (3-2) = 1

^ pemecahan persamaan tidak unique

(c) semua kolom A adalah bebas linier ^ rank A = 3 ^ null A = 3-3 = 0

^ pemecahan persamaan unique

(d) rank A = rank At = 3 ^ null A = 4-3 = 1

^ pemecahan persamaan tidak unique

Contoh 2.

Evaluasi kemungkinan solusi persamaan linier non homogen simultan berikut,

x1 + 3x2 - 2x3 = -7 4x1 + x2 + 3x3 = 5 2x1 - 5x2 + 7x3 = 19 Sistem persamaan tersebut adalah konsisten dan mempu-nyai solusi pemecahan infinitif. Karena

4

v

3 1

2 - 5

- 2 - 7

3 7

5

19

OBE

j

1 0

v

0 1 2 1 -1 - 3

0 0 0 0

J

Di mana rank(A|B) = rank(A) = 2, maka jumlah parameter solusi pemecahan persamaan tersebut adalah 3 - 2 = 1.

Trace Matriks

1. Trace matriks adalah jumlah elemen diagonal utama pada matriks bujur sangkar (kuadrat).

2. Jika matriks A adalah bujur sangkar (kuadrat) ukuran mxn, maka trace A dinyatakan,

tr(A)

n m

tr (A ) = X aii = X afl

j=i

i=i

Contoh

Tentukan trace dari matriks berikut,

1. A

1 2 3 4

n

tr (A ) = X aii =1 + 4 = 5

i=1

 2 3 2

2. B = 2 2 1 tr (B) = 2 + 2 + 2 = 6

 1 2 2

 "1 4 3 "

3. C = 2 5 4 tr (C) = 1 + 5 - 2 = 4

 - 3 -2

 "0 1 2 2"

 1 1 2 3

4. D= 2 2 2 3 tr (D) = 0 +1 + 2 + 3

 2 3 3 3

Sifat Trace Matriks

Trace matriks mempunyai sifat penting dalam manipulasi matriks :

• Jika c adalah skalar, maka tr(cA) = c[tr(A)]

• tr(A ± B) = tr(A) ± tr(B)

• tr(AB) = tr(BA)

• tr(B-1AB) = tr(A)

n m

• tr (AA') = ]T ]Ta?

i=1 j=1