Slide: Vektor

VEKTOR

Defisi Vektor

• Kuantitas yang hanya mempunyai besaran atau nilai dapat dinyatakan oleh bilangan real tunggal seperti luas, volume, temperatur, massa, dan waktu. Kuantitas tersebut didefisikan sebagai kuantitas skalar (scalar).

• Kuantitas yang melibatkan besaran dan arah tidak dapat dinyatakan oleh bilangan real tunggal seperti gaya, kecepatan, dan percepatan. Kuantitas tersebut didefisikan sebagai vektor (vector).

• Untuk menyatakan vektor digunakan segmen garis berarah (directed line segment).

Apa yang dimaksud segmen garis berarah ?

Lihat segmen garis bearah berikut :

Q

Segmen garis itu mempunyai batas awal P ^^ (tanda titik) dan batas akhir (tanda panah).

Batas awal disebut titik awal (initial point) dan dinyatakan dengan P. Batas akhir (tanda panah) disebut titik akhir (terminal point) dan dinyatakan dengan Q.

Vektor adalah segmen garis berarah dan arahnya dinyatakan oleh

PQ

Vektor dinyatakan oleh huruf tebal (bold) seperti u, v, w, dll atau oleh huruf dengan anak panah di atas atau garis di bawahnya seperti u, v, W atau u, v, w

Contoh notasi vektor : V = PQ

Vektor tidak tergantung pada tempat atau posisinya. Semua vektor berikut adalah sama (equivalent).

Karena ketiga vektor tersebut menunjukkan arah yang sama dan segmen garisnya mempunyai panjang yang sama.

Aplikasi vektor :

1. Menggambarkan dan menganalisis gerakan atau gaya.

2. Menggabarkan benda secara geometris seperti titik dan sudut.

Vektor Dalam Bidang Datar (2D)

Vektor secara geometris dapat menggambarkan sistem koordinat 2 dimensi (2D).

y

y

x

x

bidang xy

Sistem koordinat 2-dimensi terbagi menjadi 4 kuadran. Sistem koordinat tersebut membentuk satu bidang datar yaitu bidang xy.

Segmen garis berarah dengan titik awal p(p1,p2) dan titik akhir Q(q2), bentuk komponen vektornya diperoleh dengan cara mengurangi koordinat titik akhir (Q) oleh titik awal (P).

PQ=r =( q - Pi ? q- P2)={ vi> v)

Bentuk komponen vektor dalam bidang datar (2D) ditulis sebagai dua pasangan terurut yang dinyatakan oleh : V = (v19v2)

Contoh :

1. Tentukan bentuk komponen vektor u, v , dan W . Jika u : vektor dengan titik asal (0,0) dan titik akhir (6,4), dan v r vektor dengan titik awal (1,2) dan titik akhir (7,6), serta W : vektor dengan titik asal (1, 6) dan titk akhir (7, 1).

Bentuk komponen vektor u , v , dan W adalah :

u =( 6 - 0,4 - 0) = (6,4) v =( 7 -1,6 - 2 = (6,4) w =( 7 -1,1 - 6 = (6,-5)

 I

 u

 v

 w

2. Tentukan bentuk komponen vektor v dan gambarkan vektor pada posisi standar pada titik asal (0, 0).

Vektor Dalam Ruang (3 Dimensi)

Vektor secara geometris dapat menggambarkan sistem koordinat 3 dimensi (3D).

z

x

y

/ * * * * * s * ? * * * s

y

x

bidang yz

Sistem koordinat 3-dimensi terbagi ke dalam 8 oktan. Tiga bidang datar membagi 3 ruangan menjadi 8 oktan

y

x

y

bidang xy

z

y

bidang xz

Segmen garis berarah dengan titik awal P(p,p,/p) dan titik akhir q(1,q2,q3) , bentuk komponen vektornya diperoleh dengan cara mengurangi koordinat titik akhir (Q) oleh titik awal (P).

z

y

? y

Notasi bentuk komponent vektor 3D:

PQ=v = q- P1, q2- P2, qs- Ps) = v1, v2, vs)

Bentuk komponen vektor dalam ruang (3D) ditulis sebagai tiga (triple) pasangan terurut yang dinyatakan oleh : v = (v1,v2,v3)

Contoh :

1. Tentukan bentuk komponen vektor dari segmen garis berarah dengan titik awal, P(3,2,-2) dan titik akhir, Q(7,5,-3).

Bentuk komponen vektor dari P ke Q :

PQ =( 7 - 3,5 - 2, - 3-(- 2)) PQ =( 4,3,-1)

2. Tentukan bentuk komponen vektor u dengan titik awal (5, 4, 1) dan titik akhir (4, -2, 3).

Bentuk komponen vektor 3D :

u =( 4 - 5, - 2 - 4,3 -1)

u =(-1, - 6,2)

Panjang Vektor

Simbol untuk menyatakan besar atau panjang vektor adalah absolutganda, misalnya|\pQatau ||u| . Panjang dari vektor v disebut juga dengan istilah "norm" dari v.

Besar atau panjang vektor dalam garis (1D) :

PQ

=V( - P1)2 =7^ =

v

Besar atau panjang vektor dalam bidang datar (2D):

PQ

= V(1 - P1 f + (2 - P2 )2 = Vv12 + v22

Besar atau panjang vektor dalam ruang (3D):

= - P1)2+( - P2)2+(qs- Ps)2 =^1

PQ

2 2 2 + v2 + v2

Contoh :

1. Tentukan besar vektor v berikut :

v

p

Q —?

0 8 Besar vektor v adalah :

PQ

PQ

= V(-Pi)2 =^1

=v( - o) =4¥=

2

v

8 = 8

2. Tentukan besar vektor v berikut:

 y Q

 y

 v

 F

Besar vektor v adalah :

= 4(1 - P1 )2 + (2 - P2 )2 = Vv12 + v22

PQ

PQ

v(6-0)+(4-0) = v6i74t= v52

3.Gambarlah vektor dengan titik awal P(2, 1, 0) dan titik akhir Q(3, 5, 4). Tentukan besar vektor tersebut.

Solusi:

Gambar sistem 3D dan plot titik P dan Q. Hubungkan titik P ke titik Q.

222 + V2 + V2

= V( - P1)2+(q2- P2)2+(qs- Ps)2 =^1

= J(3-2)2 +(5-1)2 +(4-0)2 = V12 + 42 + 42 =V33

Vektor Satuan

Jika v = (v1, v2) mewakili vektor v dalam posisi standar dari P(0,0) ke Q(v7,v2) dan jika panjang dari v,

v

= 1 maka v disebut vektor satuan (dalam bidang datar atau 2D).

Jika v = (v1,v2,v3) mewakili vektor v dalam posisi standar dari P(0,0,0) ke Q(vpv2,v3) dan jika panjang dari v,

v

= 1 maka v disebut vektor satuan (dalam ruang atau 3D).

Jika v = 0 maka v disebut vektor nol 0 , yaitu. 0 = (0,0)

0 = (0,0,0)

Vektor Satuan Standar 2D

Vektor satuan (1,0) dan (0,1) disebut vektor satuan standar dalam bidang datar atau 2D dan dinyatakan masing-masing oleh simbol i dan j .

J = (1,0) dan j = (0,1)

Menggunakan notasi tersebut, vektor dalam bidang datar atau 2D dapat ditulis dalam bentuk vektor i dan j sebagai berikut :

v = (v!' vi) = v^1,0) + v^0, ^ = vxJ + v2 j

v\i + v2 j disebut kombinasi linier dari i dan j. Skalar v1 dan v2 masing-masing disebut komponen horizontal (x) dan vertikal (y) dari v .

Vektor Satuan Standar 3D

Vektor satuan (1,0.0), ( 0 ,1 ,0 ) dan (0,0,1) disebut vektor satuan standar dalam ruang atau 3D dan dinyatakan masing-masing oleh simbol i, j, dan k.

1 = (1,0,0), j = (0,1,0), dan k = (0,0,1)

Menggunakan notasi tersebut, vektor dalam ruang atau 2D dapat ditulis dalam bentuk vektor i, j, dan k sebagai berikut :

v = (v1, v2, v3) = v^1,0,^ + v^0,1,0) + v3 (0,0,1) = vj + v2 j + v3 k

vli + v2 j + v3k disebut kombinasi linier dari i, j, dan k Skalar v1 ,v2, dan vs masing-masing disebut komponen sumbu x, sumbu y, dan sumbu z dari v

Geometri Vektor Satuan Standar

Vektor satuan standar 2D : i = (1,0) danJ =0,1)

y

J

x

Setiap vektor satuan mewakili satu unit perubahan pada arah positif pada masing-masing sumbu x dan y.

Notasi Vektor Satuan Standar 2D:

v = Vi/ + vj

Vektor satuan standar 3D : i =1,0,0), J =(0,1,0) dank =0,0,1)

z

j

y

x

Setiap vektor satuan mewakili satu unit perubahan pada arah positif pada masing-masing sumbu x, y, dan z.

Notasi Vektor Satuan Standar 3D:

V=v1i + v2 J + v3k

Setiap vektor non-zero dapat dibentuk ke dalam vektor satuan : r vr 1

v, v * 0

Buktikan : bahwa vektor u mempunyai panjang 1.

Karena u adalah perkalian = 1 skalar dari v , maka kedua vektor

tersebut mempunyai arah yang sama.

Proses membentuk vektor non-zero v menjadi vektor satuan u dalam arah v disebut normalisasi dari v .

Jadi, untuk normalisasi vektor v , mengalikan dengan skalar .

v

Contoh :

1. Normalisasi vektor (4,- 2) dan tunjukkan bahwa vektor baru mempunyai panjang 1.

(4,-2) 42 +(-2)2 _ v 16 + 4 ^v20 = 2yf5

Kalikan (4,- 2) dengan

_/ 4 -2

2 -1

2V5 \24~5 24~5l \V5'V5

Vektor hasil normalisasi mempunyai panjang 1

Bukti :

2 -1

V5'

- + -5 _J5 _ 1

5 5 V 5

2.Gambar vektor dengan titik awal P(2, 1, 0) dan titik akhir Q(3, 5, 4). Tentukan komponen vektor, bentuk vektor satuan standar, dan vektor satuan dalam arah yang sama.

1

Gambar sistem 3D dan plot titik P dan Q, hubungkan titik P ke Q.

Komponen vektor diperoleh dengan mengura-ngi koordinat titik akhir (P) oleh titi awal (P).

Bentuk komponen vektor :

PQ=( 3 - 2,5 -1,4 - 0)=(1,4,4)

Bentuk vektor satuan standar :

PQ = f + 4 j + 4k

Vektor satuan dalam arah yang sama diperoleh dari perkalian komponen vektor dengan panjang vektor tersebut.

Panjang vektor : PQ =V12 + 42 + 42 = V 1+16+16 = V33

1 hA A / 1 4 4 \ /V33 4/33 4V33

Vektor satuan : PQ = ^r (1,4,4=—>=(

V33

\ 33 ' 33 ' 33

Bukti :

1

f 1 Y ( 4 V ( 4

+

v V 33 J vV 33 J VV 33 J

+

1 16 16 33

33 33 33 33

Operasi Vektor

1. Penjumlahan (sum) A. Vektor 2D

Jika u _ (u1, u2) dan v _ (v1, v2) maka jumlah vektor

u dan v adalah u + v _ (ui + vi, u2 + v2 }

Atau

Jika u _ u1i + u2j dan v _ v1i + v2 j maka jumlah

vektor u dan v adalah

u + v _ (ui + vi)i + (u 2 + v2 ) j

B. Vektor 3D

Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2,v3) maka jumlah

vektor u dan v adalah

u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3y

Atau

Jika u = u1i + u2j + u3k dan v = v1i + v2j + v3k maka jumlah vektor u dan v adalah

u + v = (u1 + v1)i + (u2 + v2) j + (u3 + v3) k

2. Perbedaan (difference) A. Vektor 2D

Jika u _ (u1,u2) dan v _ (v1, v2) maka jumlah vektor

u dan v adalah u - v _ (u1 - v1,u2 - v2 )

Atau

Jika u _ u1i + u2 j dan v _ v1i + v2 j maka jumlah

vektor u dan v adalah

u - v _ (u1 - v1)i + (u2 - v2)

B. Vektor 3D

Jika u = (u1,u2,u3) dan v = (v1, v2,v3) maka jumlah vektor u dan v adalah

u - v = (u1 - v1, u2 - v2, u3 - v3)

Atau

Jika u = u1i + u2j + u3k dan v = v1i + v2j + v3k maka jumlah vektor u dan v adalah

u - v = (u1 - v1)i + (u2 - v2)j + (u3 - v3)k

3. Perkalian vektor dengan skalar (scalar

multiplication)

A. Vektor 2D

 Jika u _ (u1,u2) adalah vektor dan k adalah skalar

 maka perkalian vektor dengan skalar, ku :

 ku _ (ku1,ku2)

Atau

 Jika u _ u1i + u2 j adalah vektor dan k adalah skalar

 maka perkalian vektor dengan skalar, ku :

 ku _ (ku1)i + (ku2) j

B. Vektor 3D

Jika u = (u1,u2,u3) adalah vektor dan k adalah skalar maka perkalian vektor dengan skalar, ku :

ku = (kux, ku 2, ku3)

Atau

Jika u = u1i + u2 j + u3k adalah vektor dan k adalah skalar maka perkalian vektor dengan skalar, ku :

ku = (ku1)i + (ku 2) j + (ku3) k

Sifat Penjumlahan dan Perkaliah Vektor dengan Skalar

Jika u,v dan w vektor dan jika c dan d adalah skalar maka :

1. Sifat komutatif : u + v _ v + u

2. Sifat asosiatif : (u + v) + w _ u + (v + w)

3. Sifat identitas penjumlahan : u + 0 _ 0 + u _ u

4. Sifat invers penjumlahan : u + (- u) _ 0

5. Sifat asosiatif perkalian skalar : c(du) _ cd(u)

6. Sifat distributif : (c + d)u _ cu + du

c(u + v) _ cu + cv

1(u)_ u, 0u _ 0

Contoh :

1. Gambarlah jumlah dua vektor berikut u + 2v

 y 4-

 IN 3"

 v > 2" u

 1"

 4 - 3 - 2 - 1 i

 -1"

 -2"

 -3" -4-

Pertama kalikan v dengan 2, kemudian u pindahkan ke posisi standar. Pindahkan 2v ke posisi standar. Buat paralelogram dan diagonal.

 y

 3"

 v 2" u

 1"

 4 - 3 - 2 - 1 i [

 -i"

 -2"

 -3"

 -4

2. Tentukan a + b, a - 2b, 3b, 3b - 2a

Jika a = /3,-1), dan b = /-Solusi :

a + b = (3, -1 + (- 4,5) = (3 - 4, -1 + 5) = (-1,4)

a

- 2b = (3, -1 - 2( - 4,5) = (3, -1) + (8, -10) = (11, -11)

3b = 3 - 4,5) = (-12,15)

3b - 2a = (-12,15 - ^3, -1) = (-12,15) + (- 6,2) = (-18,17) (-18,17) =V(-18)2 +172 = ^613

3. Tentukan a + b, a - 2b,3b,

Jika a _ i - 2 j, dan b _ 3i - j Solusi :

a + b _ i - 2 j + 3i - j _ 4i - 3 j

3b - 2a

a - 2b _ i - 2 j - 2(3i - j) _ i - 2 j - 6i + 2 j _ -5i

3b _ 3(3? - j) _ 9i - 3 j

3b - 2a _ 9i - 3 j - 2(i - 2 j) _ 9i - 3 j - 2i + 4 j _ 7i + j

7k+j _^l(7)2 +12 _V5Q _

5. Perkalian skalar dari dua vektor (dot product, scalar product)

Perkalian skalar (dot product) dari dua vektor secara geometris diinterpretasikan sebagai panjang proyeksi suatu vektor (u) terhadap arah vektor satuan dari vektor lainnya (v) ketika kedua vektor tersebut diletakan pada titik awal yang sama. Perkalian skalar dari dua vektor menghasilkan scalar.

u

u • v _ u v cos(u, v) _ uv cos a

u • v

Perkalian skalar (dot product) dari vektor satuan :

z

j

l • I = X.XcosO0 =1

j • j = X.XcosO0 =1

k • k = X.XcosO0 =1

> >

i •j = X.Xcos90o =O

j •k = X.Xcos900 = 0

k = X.Xcos90o = 0

x

Berdasarkan perkalian skalar vektor satuan di atas :

1 Jika U = UXi + U 2 j dan v = vxi + v2 j maka

2 Jika U = Uxi + U2j + U3k dan v = VXZ + v2j + v3k maka

Sifat "Dot Product Vektor

Jika u,v dan w vektor dan c adalah skalar maka :

1

u • v _ v • u

komutatif

2 u • (v + w) _ u • v + u • w distributif

3 c(u • v) _ cu • v _ u • cv

4 0 • u _ 0

5

u • u _

u

2

Jika a adalah sudut antara dua vektor (non zero) u dan v maka

 . .

 u • v

cosa _-

 u v

Kosekwensi dari cosa _

u • v

r r

u v

. maka

u

u u u

v > 0 Jika dan hanya jika 0° < a 90°

v _ 0 Jika dan hanya jika a = 90°

v Jika dan hanya jika 90° < a 180°

v _ -uv Jika dan hanya jika a = 180°

Jika u• v _ 0 maka vektor u dan v adalah saling tegak lurus atau ortogonal.

Contoh :

1. Jika u _ 3/+ 2j + 5k dan v _ 6i + 4 j + 2k tentukan: u • v dan v • u

Solusi :

u • v _ u1v1 + u2v2 + u3v3 _ (3)(6) + (2)(4) + (5)(2) _ 34 v • u _ v1u1 + v2u2 + v3u3 _ (6)(3) + (4)(2) + (2)(5) _ 34

2. Sebuah benda bergerak sepanjang vektor r _ 3? + 2 j - 5k jika gaya yang bergerak tersebut adalah F _ 2i - j - k tentukan usahanya.

Solusi :

F • r _ Fr + E2r + F3r3 _ (2)(3) + (-1X2) + (-1)(-5) _ 9

3. Tentukan sudut antara dua vektor :

u = (- 3, 5) dan v = (4, X).

Solusi :

r ? v = (-3,5-(4,X) = -X2 + 5

cose =

- 7

r r

U v

(- 3,5)||||(4,X)|| V9+^VX6 + X VX^VX?

cose ^-0.4537......

e= 2.04 or XX7.0o

4. Tentukan sudut antara vektor w dan z jika: w = (-3,1,-2 dan z = (3,-3,-6).

Solusi :

cose =

e =n 2

U ? v

r r

U v

= (- 3, X, - 2) •( 3, - 3, - 6) = - 9 - 3 + X2

(-3,X,-2) (3,-3,-6) V9+I+4V9 + 9 + 36

= 0

5. Perkalian vektor dari dua vektor (vector product, cross product)

Perkalian vektor (cross product) dari dua vektor secara geometris menyatakan luas bidang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Perkalian vektor dari dua vektor menghasilkan vektor yang arahnya tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

n

u

u x V = uv sin(u, v)n = uv sin an

V

Perkalian vektor (cross product) dari vektor satuan :

z

j

i x i = 0

J x J = 0 k x k=0

jj i x J j =k

j x k =i

kxi =j

jj j x i = j - k

kx j = -i

i x k = - J

x

Berdasarkan "cross product satuan di atas maka :

1 Jika u = {u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3) maka u x v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1)

atau

2 Jika U = UXi + U2j + U3k dan v = vXi + v2j + v3kmaka

u x v = (uXi + u2 j + u3k) x (vXi + v2 j + v3k)

= (u2v3 - u3v2)i + (u3vX - uXv3) j + (uXv2 - u2vX)k)

Agar mudah diingat perkalian vektor (crossproduct) dapat di lakukan melalui perhitungan determinan matrik ukuran 3 x 3 cara Sarrus.

Cara sarrus: ^ r r

1. Gunakan vektor satuan i, j dan k sebagai baris pertama

2. Gunakan komponen vektor u untuk baris ke 2 dan komponen vektor vuntuk baris ke 3.

\

V S - \ -V i j k

S\ \ '

U1 «2 U 3

' / S /

VI V2 V3

1 j

U1 «2

\

V1 V2

X \ \ + + +

= i (u2 v3 ) + 1 (U3 vX ) + k (UX v2 ) - |f (U3 v2 ) + j (uX v3 ) + k (u2 vX )]

(u2v3 - u3v2 )i + (u3vX - uXb3) j + (uxv2 - u2vX )k

Sifat"Cross Product" Vektor

Jika u, v dan w vektor dan c adalah skalar maka :

1 u x v = -(v x u)

2 (cu ) x v = u x cv = c(u x v )

3 u x (v + w) = u x v + u x w

4

(u x v ) • u = 0 (u x v ) • v = 0

5 u x u = 0

6

uxv

u

v

sin a

Contoh :

Jika a = 2i + 4 j + 5k tentukan: a x b

dan b = i - 2 j - k

Solusi :

i 2

j 4

k 5

X - 2 - X

i 2

j 4

X - 2

i (4(- X))+ j (5(()+ k (2(- 2))- [/ (5(- j (2(- 0)+ k (4(() (- 4 + X0)) + (5X —2) + (- 4 - 4)

6i + 7 j - 8k

6. Diferensial vektor

Besaran vektor dapat dideferensialkan, misalnya vektor kecepatan dideferensialkan terhadap waktu menghasil-kan vektor percepatan.

k dv a = —

dt

Semua vektor yang dinyatakan dalam bentuk fungsi kontinue dapat dideferensialkan.

Diferensial vektor posisi r (dinyatakan fungsi waktu) :

dr r (t + At) + r (t) Ar

— = lim —---— = lim —

dt At ^0 At At^0 At

0

Sifat-sifat diferensial vektor :

1

2

3

4

d du dv

(u + v) = — +

dt

dt dt

d r d\ dU r

— (u x v ) = U x — + — x v dt dt dt

maka r adalah vektor konstan.

Contoh

Jika sebuah partikel bergerak mempunyai lintasan (s):

s = r (t) = ti + 3t. J + (t2 + 1).k Tentukan vektor kecepatan dan percepatannya Solusi :

Kecepatan partikel :

k dr

v =

v =

dt

d l k + (3t)J + (t2 + 1)k) = d (t)k + d (3t)J + d (t2 + 1)k

dt dt dt dt = i + 3. J + 2t.k Percepatan partikel :

k dv d

a =

dt dt

(k + (3) j +

a=d (1)j+d (3) J+d (2t )k = 2k

dt dt dt

7. Integral vektor

Besaran vektor dapat diintegralkan, misalnya vektor gaya diintegralkan terhadap waktu lintasan (Jarak) menghasilkan

kerJa. Integral gaya F sepanJang lintasan C :

y

0

x

Gaya F dan Jarak S mempunyai panjang dan arah maka :

J F .dS = ( + Fyj )(dxxi + dyyj ) = \(Fxdx + Fxdy) = \Fxdx + \Fydy

Atau dalam ruang berdimensi 3 :

JF .dS = (dx + Fxdy + Fzdz) = jFxdx + JFydy + JFzdz

c c c c c

Contoh :

Hitunglah usaha yang dilakukan gaya F = 3xy.i - 5z.j + x0x.k untuk menggerakan partikel di sepanjang garis lengkung :

x

= t2 + x z = t3 y = 2t2 dari t=1 hingga t=2.

Solusi: Usaha = JF.dS = J(3xy.r - 5z.j + x0x.k).(dx./" + dy.j + dx.k)

c c

= J(3xydx - 5 zdy + x0 xdz)

c 2

= J 3(t2 + x)(2t )d (t2 + x) - 5t3 d (2t2) + x0(t2 + x)d (t3)

t-X

j(x2t5 + x0t4 - x2t3 + 30t2)dt = 303