Korelasi Pearson: Memahami dan Menggunakan dalam Analisis Data Statistika

Korelasi Pearson merupakan salah satu ukuran korelasi yang digunakan untuk mengukur kekuatan dan arah hubungan linier dari dua veriabel. Dua variabel dikatakan berkorelasi apabila perubahan salah satu variabel disertai dengan perubahan variabel lainnya, baik dalam arah yang sama ataupun arah yang sebaliknya. Harus diingat bahwa nilai koefisien korelasi yang kecil (tidak signifikan) bukan berarti kedua variabel tersebut tidak saling berhubungan. Mungkin saja dua variabel mempunyai keeratan hubungan yang kuat namun nilai koefisien korelasinya mendekati nol, misalnya pada kasus hubungan non linier.

Dengan demikian, koefisien korelasi hanya mengukur kekuatan hubungan linier dan tidak pada hubungan non linier. Harus diingat pula bahwa adanya hubungan linier yang kuat di antara variabel tidak selalu berarti ada hubungan kausalitas, sebab-akibat.

Pendahuluan

Seringkali peneliti mengamati beberapa parameter dari sampling atau satuan pengamatan yang sama. Sebagai contoh, pada penelitian pengujian suatu jenis pupuk tertentu, selain mencatat hasil padi, mungkin juga Peneliti ingin mencatat beberapa respons lainnya, seperti jumlah bulir, berat 100 biji, jumlah anakan, serapan Nitrogen, serapan kalium dsb. Apabila hanya terdapat dua variabel yang dicatat, dikatakan bivariate, sedangkan apabila lebih, dikatakan multivariate. Variabel yang di catat tersebut nilainya bersifat acak, sehingga dikatakan sebagai variabel acak. Berbeda dengan dosis pupuk yang sudah ditentukan sebelumnya, variabel pupuk tersebut bersifat tetap, sehingga dikatakan variabel tetap. Mungkin saja, selain peneliti ingin melihat hubungan antara dosis pupuk (faktor) dengan hasil padi (respons) , dia juga ingin melihat hubungan di antara pasangan variabel-variabel respons yang dia amati. Apakah peningkatan serapan nitrogen seiring dengan peningkatan hasil atau justru sebaliknya dan bagaimanakah pula kekuatan hubungannya? Kekuatan dan arah hubungan linier di antara kedua variabel tersebut bisa dijelaskan dengan ukuran statistik yang dinamakan dengan "koefisien korelasi".

Eksplorasi data

Sebelum melakukan analisis korelasi antar variabel, sebaiknya kita mengeksplorasi data tersebut terlebih dahulu secara grafis. Seringkali kita melihat pola hubungan di antara variabel dengan cara memplotkan pasangan sampel data tersebut pada diagram kartesian yang disebut dengan scatterplot atau diagram pencar. Setiap pasangan data (x, y) diplotkan sebagai titik tunggal.

Contoh diagram pencar dapat dilihat pada gambar berikut.

Secara sepintas kita bisa melihat pola hubungan dari grafik-grafik tersebut. Pada Grafik a, b, c terlihat bahwa peningkatan nilai y sejalan dengan peningkatan nilai x. Apabila nilai x meningkat, maka nilai y pun meningkat, dan sebaliknya. Dari Grafik a sampai c, sebaran titik-titik pasangan data semakin mendekati bentuk garis lurus yang menunjukkan bahwa keeratan hubungan antara variabel x dan y semakin kuat (sinergis).

Hal yang sebaliknya terjadi pada Grafik d, e, dan f. Peningkatan nilai y tidak sejalan dengan peningkatan nilai x (antagonis). Peningkatan salah satu nilai menyebabkan penurunan nilai pasangannya. Sekali lagi tampak bahwa kekuatan hubungan antara kedua variabel dari d menuju f semakin kuat.

Berbeda dengan grafik sebelumnya, pada Grafik g tidak menunjukkan adanya pola hubungan linier antara kedua variabel. Hal ini menandakan bahwa tidak ada korelasi di antara kedua variabel tersebut. Terkahir, pada Grafik h kita bisa melihat adanya pola hubungan di antara kedua variabel tersebut, hanya saja polanya bukan dalam bentuk hubungan linier, melainkan dalam bentuk kuadratik.

Kovarian dan Korelasi

Untuk memahami korelasi linier antara dua variabel, terdapat dua elemen yang harus kita tinjau, mengukur hubungan diantara dua variabel (kovarian) dan proses standarisasi.

Kovarian

Salah satu ukuran kekuatan hubungan linear antara dua variabel acak kontinu adalah dengan menentukan seberapa banyak kedua variabel tersebut co-vary, yaitu bervariasi bersama-sama. Jika salah satu variabel meningkat (atau menurun) sebagai akibat peningkatan (atau penurunan) variabel pasangannya, maka dua variabel tersebut dinamakan covary. Namun jika satu variabel tidak berubah dengan meningkatnya (atau penurunan) variabel lain, maka variabel tersebut tidak covary. Statistik untuk mengukur berapa banyak kedua variabel covary dalam sampel pengamatan adalah kovarian.

$$Covarian=S_{xy}=\frac{\sum{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{n-1}$$

Selain mengukur besarnya kekuatan hubungan di antara dua variabel, kovarian juga menentukan arah hubungan dari kedua variabel tersebut.

1. Apabila nilainya positif, berati bahwa apabila nilai x berada di atas nilai rata-ratanya, maka nilai y juga berada di atas nilai rata-rata y, dan sebaliknya (Searah).
2. Nilai kovarian negatif menunjukkan bahwa apabila nilai x berada di atas nilai rata-ratanya sedangkan nilai y berada di bawah nilai rata-ratanya (berlawanan arah).
3. Terakhir, apabila nilai kovarian mendekati nol, menandakan bahwa kedua variabel tersebut tidak saling berhubungan.

Standarisasi

Salah satu keterbatasan kovarian sebagai ukuran kekuatan hubungan linier adalah arah/besarnya gradien yang tergantung pada satuan dari kedua variabel tersebut. Misalnya, kovarian antara serapan N (%) dan Hasil Padi (ton) akan jauh lebih besar apabila satuan % (1/100) kita konversi ke ppm (1/sejuta). Agar nilai kovarian tidak tergantung kepada unit dari masing-masing variabel, maka kita harus membakukannya terlebih dahulu yaitu dengan cara membagi nilai kovarians tersebut dengan nilai standar deviasi dari kedua variabel tersebut sehingga nilainya akan terletak antara -1 dan +1. Ukuran statistik tersebut dikenal dengan Pearson product moment correlation yang mengukur kekuatan hubungan linier (garis lurus) dari kedua variabel tersebut. Koefisien korelasi linear kadang-kadang disebut sebagai koefisien korelasi pearson untuk menghormati Karl Pearson (1857-1936), yang pertama kali mengembangkan ukuran statistik ini.

Kovarian:

$$Covarian=S_{xy}=\frac{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{n-1}$$

Standar Deviasi variabel X dan Y:

$$S_x=\sqrt{\frac{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}{\ dan\ S}_y=\sqrt{\frac{\sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2}{n-1}}$$

Korelasi

Nilai kovarian distandarkan dengan membagi nilai kovarian tersebut dengan nilai standar deviasi kedua variabel.
$$Korelasi=r_{xy}=\frac{S_{xy}}{S_x\bullet S_y}$$

$$Korelasi=r_{xy}=\frac{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2}\bullet\sqrt{\sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2}}$$

atau

$$Korelasi=r_{xy}=\frac{\sum{x_iy_i-\frac{\sum{x_i\sum y_i}}{n}}}{\sqrt{\Sigma x_i^2-\frac{\left(\Sigma x_i\right)^2}{n}}\bullet\sqrt{\Sigma y_i^2-\frac{\left(\Sigma y_i\right)^2}{n}}}$$
atau

$$Korelasi=r_{xy}=\frac{n\sum{x_iy_i-\sum{x_i\sum y_i}}}{\sqrt{{n\Sigma x}_i^2-\left(\Sigma x_i\right)^2}\bullet\sqrt{{n\Sigma y}_i^2-\left(\Sigma y_i\right)^2}}$$

Koefisien Korelasi

Koefisien korelasi mengukur kekuatan dan arah hubungan linier dari dua veriabel. Harus diingat bahwa nilai koefisien korelasi yang kecil (tidak signifikan) bukan berarti kedua variabel tersebut tidak saling berhubungan. Mungkin saja dua variabel mempunyai keeratan hubungan yang kuat namun nilai koefisien korelasinya mendekati nol, misalnya pada kasus hubungan non linier. Dengan demikian, koefisien korelasi hanya mengukur kekuatan hubungan linier dan tidak pada hubungan non linier.

Harus diingat pula bahwa adanya hubungan linier yang kuat di antara variabel tidak selalu berarti ada hubungan kausalitas, sebab-akibat. Kedua pasang variabel, x dan y bisa saja nilai koefisien korelasinya tinggi sebagai akibat adanya faktor z. Sebagai contoh, suhu (x) dengan tekanan udara (y) mungkin saja nilai koefisien korelasinya tinggi, namun belum tentu keduanya menunjukkan adanya hubungan sebab akibat (misal, semakin rendah suhu udara maka tekanan udara akan semakin rendah). Adanya korelasi suhu dan tekanan udara tersebut bisa saja semata-mata sebagai akibat dari perubahan ketinggian (z) suatu tempat, semakin tinggi tempat maka baik suhu ataupun tekanan udara akan semakin menurun. (meskipun secara teoritis memang terdapat hubungan sebanding antara suhu dan tekanan: PV = nRT). Dengan demikian, Korelasi hanya menjelaskan kekuatan hubungan tanpa memperhatikan hubungan kausalitas, mana yang dipengaruhi dan mana yang mempengaruhi. Kedua variabel masing-masing bisa berperan sebagai Variabel X maupun Variabel Y.

Karakteristik korelasi

• Nilai r selalu terletak antara -1 dan +1
• Nilai r tidak berubah apabila seluruh data baik pada variabel x, variabel y, atau keduanya dikalikan dengan suatu nilai konstanta (c) tertetu (asalkan c ≠ 0).
• Nilai r tidak berubah apabila seluruh data baik pada variabel x, variabel y, atau keduanya ditambahkan dengan suatu nilai konstanta (c) tertetu.
• Nilai r tidak akan dipengaruhi oleh penentuan mana variabel x dan mana variabel y. Kedua variabel bisa saling dipertukarkan.
• Nilai r hanya untuk mengukur kekuatan hubungan linier, dan tidak dirancang untuk mengukur hubungan non linier

Asumsi

Asumsi untuk analisis korelasi:

1. Sampel data berpasangan (x, y) berasal dari sampel acak dan merupakan data kuantitatif.
2. Pasangan data (x, y) harus berdistribusi normal.

Harus diingat bahwa analisis korelasi sangat sensitif terhadap data pencilan (outliers)!

Asumsi bisa dicek secara visual dengan menggunakan:

• Boxplots, histograms & univariate scatterplots untuk masing-masing variabel
• Bivariate scatterplots

Apabila tidak memenuhi asumsi misalnya data tidak berdistribusi normal (atau ada nilai data pencilan), kita bisa menggunakan korelasi Spearman (Spearman rank correlation), korelasi untuk analisis non-parametrik.

Koefisien Determinasi

Koefisien korelasi, r, hanya menyediakan ukuran kekuatan dan arah hubungan linier antara dua variabel. Akan tetapi tidak memberikan informasi mengenai berapa proporsi keragaman (variasi) variabel dependen (Y) yang dapat diterangkan atau diakibatkan oleh hubungan linier dengan nilai variabel independen (X). Nilai r tidak bisa dibandingkan secara langsung, misalnya kita tidak bisa mengatakan bahwa nilai r = 0.8 merupakan dua kali lipat dari nilai r =0.4.

Untungnya, nilai kuadrat dari r bisa mengukur secara tepat rasio/proposi tersebut, dan nilai statistik ini dinamakan dengan Koefisien Determinasi, r². Dengan demikian, Koefisien Determinasi bisa didefinisikan sebagai nilai yang menyatakan proporsi keragaman Y yang dapat diterangkan/dijelaskan oleh hubungan linier antara variabel X dan Y.

Misalnya, apabila nilai korelasi (r) antara Serapan N dengan hasil = 0.8, maka r² = 0.8 x 0.8 = 0.64=64%. Hal ini berarti bahwa 64% keragaman Hasil padi bisa diterangkan/dijelaskan oleh tinggi rendahnya Serapan N. Sisanya, sebesar 36% mungkin disebabkan oleh faktor lain dan atau error (galat) dari percobaan.

Pengujian Koefisien Korelasi

Terdapat dua metode yang biasa digunakan untuk menguji kebermaknaan koefisien korelasi. Metode pertama dengan menggunakan Uji-t dan Metode kedua dengan menggunakan tabel r.

Bagan Alir untuk pengujian hipotesis:

Catatan:

Nilai tabel kritis r bisa di lihat pada tabel di bawah ini. Nilai kritis r selengkapnya bisa di download pada tautan berikut: nilai kritis tabel r:

Faktor yang akan mempengaruhi nilai uji korelasi

Ukuran koefisien korelasi dan ukuran/banyaknya sampel.

Contoh Terapan

Berikut adalah data usia, berat, dan tekanan darah.

Untuk kasus ini, kita ingin melihat apakah terdapat hubungan linier antara usia dengan tekanan darah sistolik? Taraf nyata yang digunakan adalah 5%.

Hipotesis

H0: ρ = 0 vs H1: ρ ≠ 0

Eksplorasi Data

Berdasarkan diagram pencar (scatterplot), tampak bahwa sebaran titik-titik mengikuti pola linier dengan kemiringan positif, yang berarti terdapat hubungan yang sejalan antara usia dengan tekanan darah sistolik. Dengan demikian, kita bisa menggunakan koefisien korelasi untuk menentukan apakah hubungan linier kedua variabel tersebut bermakna atau tidak. Apabila pola hubungannya tidak linier, kita tidak tepat menggunakan koefisien korelasi karena nilai r hanya untuk mengukur kekuatan dan arah hubungan linier antara kedua varibel kuantitatif.

Asumsi

Kedua data berasal dari data kuantitatif. Selanjutnya apakah sebaran kedua variabel berdistribusi normal?

Uji Formal

H0: data berdistribusi normal

H1: data tidak berdistribusi normal

Interpretasi

Apabila nilai sig (p-value) ≤ 0.05, maka Tolak H0 yang berarti data tidak berdistribusi normal

Apabila nilai sig (p-value) > 0.05, maka Terima H0 yang berarti data berdistribusi normal

Pada kasus di atas, nilai p-value untuk kedua variabel > 0.05, sehingga kita bisa menyimpulkan bahwa data berdistribusi normal.

Tampak bahwa uji normalitas untuk kedua variabel tersebut memenuhi persyaratan, sebarannya mengikuti distribusi normal, baik dengan menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov ataupun Shapiro-Wilk.

Grafis

Secara grafis juga tampak bahwa kedua variabel tersebut berdistribusi normal. Penggunaan box plot untuk melihat apakah sebaran data berdistribusi normal ataukah tidak, diuraikan pada topik: Mengenal Box Plot

Perhitungan nilai koefisien korelasi (r)

$$r_{xy}=\frac{n\sum{x_iy_i-\sum{x_i\sum y_i}}}{\sqrt{{n\Sigma x}_i^2-\left(\Sigma x_i\right)^2}\cdot\sqrt{{n\Sigma y}_i^2-\left(\Sigma y_i\right)^2}}$$

$$r_{xy}=\frac{7\left(60112\right)-(399)(1015)}{\sqrt{7\left(24279\right)-\left(399\right)^2}\cdot\sqrt{7\left(150803\right)-\left(1015\right)^2}}$$

$$r_{xy}=\frac{15799}{103.69\times159.36}=0.9561$$

Pengujian Hipotesis

Metode 1

$$t=\frac{r}{\sqrt{\frac{1-r^2}{n-2}}}=\frac{0.9561}{\sqrt{\frac{1-\left(.9561\right)^2}{7-2}}}=7.30$$

Tentukan nilai t-tabel dengan taraf nyata (α)= 5% dan db = n-2.

Dari tabel distribusi t, kita peroleh: t(0.05/2, 5)= 2.57

Bandingkan t-hitung dengan t-tabel:

Dari hasil perhitungan, kita peroleh nilai t-hitung = 7.30 dan t-tabel = 2.57. Jelas bahwa nilai |t-hitung| > t-tabel sehingga Tolak H0 dan Terima H1. Dengan demikian, kita bisa menyatakan bahwa terdapat hubungan linier antara usia dengan tekanan darah sistolik.

Metode 2

Bandingkan nilai |r| dengan nilai tabel kritis r untuk n = 7. Nilai r pada tabel kritis = 0.754.

Dari hasil perhitungan, diperoleh nilai r = 0.956. Jelas bahwa |r|> 0.754 sehingga kita bisa menyimpulkan bahwa terdapat hubungan linier antara usia dengan tekanan darah sistolik.

Output Analisis dengan menggunakan SPSS

Kita bisa menyatakan seperti ini:

Korelasi antara usia dengan tekanan darah sistolik: r(7) = 0.956; p < 0.01

Koefisien Determinasi

$${Koefisien\ determinasi\ \left(R\right)}=r^2=0.91$$
Nilai koefisien determinasi diatas menyatakan proporsi keragaman Tekanan darah sistolik yang dapat diterangkan/dijelaskan oleh hubungan linier antara variabel usia dan tekanan darah sistolik. Berdasarkan hasil analisis, kita yakin 95% bahwa sekitar 91% variasi tinggi rendahnya tekanan darah sistolik ditentukan oleh usia seseorang.