Uji-t Student 2 Populasi dengan Ragam Homogen: Memahami dan Menggunakan dalam Analisis Data Statistika

Hipotesis

Keterangan: |t| = nilai mutlak t

Apabila ragam kedua populasi sama (σ₁ = σ₂ = σ) dan nilai σ tidak diketahui nilainya, nilai tersebut didekati dengan nilai perkiraannya, yaitu simpangan rata-rata contoh, s. Karena kedua populasi tersebut mempunyai nilai s, maka s yang digunakan ada s gabungan (s_p) dari kedua populasi tersebut:

Simpangan baku populasi (Sebenarnya):

 $$\sigma_{{\bar{y}}_1-{\bar{y}}_2}=\sigma_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$$

Simpangan baku populasi contoh (Perkiraan):

 $$s_{{\bar{y}}_1-{\bar{y}}_2}=s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$$

Dimana simpangan baku gabungan:

 $$s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}$$

Uji Statistik

 $$ t=\frac{{\bar{y}}_1-{\bar{y}}_2}{s_{{\bar{y}}_1-{\bar{y}}_2}}$$

 $$ t=\frac{{\bar{y}}_1-{\bar{y}}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$$

dengan $ db=n_1+n_2-2$

Contoh 1: Uji satu arah

Mata kuliah Pemrograman Komputer diberikan pada dua kelas mahasiswa yang berbeda. Kelas A yang terdiri dari 12 mahasiswa diajar dengan metode biasa. Sedangkan kelas B yang terdiri dari 10 mahasiswa diajar dengan metode pengajaran yang baru. Pada akhir semester kelas A dan B diberi materi ujian yang sama. Di kelas A nilai rata-rata mahasiswa adalah 85 dengan simpangan baku 4, dan kelas B nilai rata-ratanya adalah 81 dengan simpangan baku 5. Yakinkah anda bahwa metode pengajaran biasa tetap lebih baik daripada metode pengajaran yang baru dengan taraf signifikan 0,01? Diasumsikan dua populasi mendekati distribusi normal dengan variansi yang sama.

Jawab

Sampel A: n₁ = 12; ${\bar{y}}_1$ = 85; s₁ = 4; dan Sampel B: n₂ = 10; ${\bar{y}}_2$ = 81; s₂ = 5.

1. Langkah ke-1: Klaim: Metode pengajaran lama tetap lebih baik, secara simbolik dapat dinyatakan dengan μ₁ > μ₂ vs μ₁ = μ₂
2. Langkah ke-2: Dari kedua persamaan di atas, μ₁ = μ₂ mengandung unsur persamaan (equality), sehingga menjadi hipotesis Hipotesis nol dan tandingan (H₁) μ₁ > μ₂.
3. H₀: μ₁ = μ₂
4. H₁: μ₁ > μ₂
5. Taraf nyata : α = 0.01
6. Tentukan uji statistiknya: sampel diambil secara acak; n < 30 (namun diasumsikan berdistribusi normal) dan σ₁ = σ₂ = σ. Dari kondisi tersebut, uji statistik yang relevan adalah uji-t independent dengan ragam homogen.
7. Hitung nilai t_hitung dan tentukan t_kritis:
8. Simpangan baku gabungan:

 $$s_p=\sqrt{\frac{\left(n_1-1\right){s_1}^2+\left(n_2-1\right){s_2}^2}{n_1+n_2-2}}=\sqrt{\frac{\left(11\right)4^2+\left(9\right)5^2}{20}}=\sqrt{20,05}=4.478$$

 $$ t=\frac{{\bar{y}}_1-{\bar{y}}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}=\frac{85-80}{4.478\sqrt{\frac{1}{12}+\frac{1}{10}}}=2.09$$

1. db = n₁ + n₂ -2 = 12+10-2 = 20; α = 0.01
2. t_kritis = t_(0.01,20) = 2.528
3. Karena t_hitung < t_kritis maka H₀ diterima
4. Dari hasil uji-t diperoleh kesimpulan bahwa pada taraf nyata 1%, metoda pengajaran biasa tidak berbeda dengan metoda pengajaran baru. Apabila biaya metoda pengajaran baru lebih murah, kita bisa memilih metode tersebut, karena kualitasnya tidak berbeda dibandingkan dengan metode pengajaran biasa.

Contoh 2: Uji 2 arah [Pertambahan bobot anak sapi Holstein (Torrie, 1980)]

Sebanyak 28 ekor sapi Holstein, dikelompokkan menjadi dua, kelompok pertama sebanyak 14 ekor sapi diberi vitamin A, sedangkan kelompok kedua tidak diberi vitamin A sebagai kontrol. Untuk mengetahui perbedaan berat kedua kelompok sapi tersebut digunakan uji statistik t dengan 2 sample bebas (independent). Data pertambahan berat sapi yang diperlakukan dengan vitamin A disajikan pada Tabel 1:

Tabel 1.1. Pertambahan berat sapi Holstein akibat pemberian vitamin A

Perhitungan Manual (Metode Klasik/Tradisional)

Sampel A: n₁ = 14; ${\bar{y}}_1$ = 187.6429; s₁ = 38.09827; dan

Sampel B: n₂ = 14; ${\bar{y}}_2$ = 235.928685; s₂ = 54.28623.

1. Langkah ke-1: Klaim: Ada perbedaan diantara kedua perlakukan, secara simbolik dapat dinyatakan dengan μ₁ ≠ μ₂ vs μ₁ = μ₂
2. Langkah ke-2: Dari kedua persamaan di atas, μ₁ = μ₂ mengandung unsur persamaan (equality), sehingga menjadi hipotesis Hipotesis nol dan tandingan (H₁) μ₁ ≠ μ₂.
3. H₀: μ₁ = μ₂
4. H₁: μ₁ ≠ μ₂
5. Taraf nyata : α = 0.05
6. Tentukan uji statistiknya: sampel diambil secara acak; n < 30; berdistribusi normal (Uji Kolmogorov-Smirnov/Shapiro-Wilk) dan σ₁ = σ₂ = σ (Uji Levene). Dari kondisi tersebut, uji statistik yang relevan adalah uji-t independent dengan ragam homogen.
7. Hitung nilai t_hitung dan tentukan t_kritis:
8. Simpangan baku gabungan:

 $$\ $$\begin{matrix}s_p=\sqrt{\frac{\left(n_1-1\right){s_1}^2+\left(n_2-1\right){s_2}^2}{n_1+n_2-2}}=\sqrt{\frac{\left(13\right)38.10^2+\left(13\right)54.29^2}{26}}\\=\sqrt{2199.2365}=46.896\\\end{matrix}\bigm$$\ \begin{matrix}t=\frac{{\bar{y}}_1-{\bar{y}}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}=\frac{187.6429-235.9286}{46.896\sqrt{\frac{1}{14}+\frac{1}{14}}}\\=\frac{-48.2857}{17.725}=-2.724153\\\end{matrix}$$

1. db = n₁ + n₂ -2 = 14+14-2 = 26; α = 0.05
2. t_kritis = t_(α/2;db) = t_(0.025,26) = 2.056
3. Karena |t_hitung| > t_kritis = |-2.73| > 2.056, maka H₀ ditolak!
4. Dari hasil uji-t diperoleh kesimpulan bahwa pada taraf nyata 5%, berat antara kelompok sapi yang tidak diberi vitamin A (kontrol) dengan yang diberi Vitamin A berbeda.

Metode Modern:

Metode di atas adalah uji statistik dengan metode tradisional. Uji dengan metode modern menggunakan nilai p-value dalam menentukan signifikan atau tidaknya suatu uji statistik.

Apabila: P-Value < Taraf Nyata maka uji nyata atau H₀ ditolak

Apabila: P-Value > Taraf Nyata maka uji tidak nyata atau H₀ diterima

Apabila nilai P-Value < 0.01, maka uji tersebut sangat nyata!

Perhitungan dengan menggunakan SmartstatXL Add-In:

Statistik Deskriptif dan Uj Kehomogenan Ragam

Uji Normalitas

Uji t-student

Perhitungan dengan menggunakan software SPSS v.16:

Uji Normalitas

Kolmogorov-Smirnov^a atau Shapiro-Wilk digunakan untuk menguji asumsi apakah sampel yang diambil berdistribusi normal atau tidak. Asumsi ini diperlukan sebelum melakukan uji-t. Uji-t hanya dapat dilakukan apabila sampel berdistribusi normal.

H₀ = sampel berdistribusi normal;

H₁ = sampel tidak berdistribusi normal.

Kesimpulan:

• H₀ ditolak: signifikan (biasanya p < 0.20) = sampel tidak berdistribusi normal
• H₀ diterima: tidak signifikan (biasanya p > 0.20) = sampel berdistribusi normal

Uji normalitas (Kolmogorov-Smirnov^a/ Shapiro-Wilk) untuk kedua kelompok tidak nyata. Uji Kolmogorov-Smirnov untuk kelompok Kontrol = p > 0.2, dan Vitamin A =p > 0.2. Hal ini menunjukkan bahwa kedua sampel tersebut berdistribsi normal.

Uji kehomogenan ragam:

Uji Levene digunakan untuk menguji kehomogenan ragam diantara kedua populasi (kelompok).

• H₀ = ragam homogen.
• H_A = tidak semua ragam sama.

Kesimpulan Uji Levene:

• H₀ ditolak yang berarti Uji Levene signifikan (biasanya p < 0.10) = ragam tidak sama (σ₁ ≠ σ₂)
• H₀ diterima yang berarti Uji Levene tidak signifikan (biasanya p > 0.10) = ragam homogen (σ₁ = σ₂)

Perhatikan kembali hasil perhitungan dengan menggunakan software SPSS di atas. Terdapat dua asumsi varians pada output Independent Samples Test, yaitu Equal variance assumsed, dan not assumses. Hasil Uji Levene menunjukkan bahwa kedua populasi tersebut mempunyai ragam yang homogen (p = 0.258 > 0.10), sehingga uji t yang digunakan adalah uji-t dengan asumsi ragam homogen (Equal variance assumed). Hal ini menunjukkan bahwa kedua sample sapi berasal dari populasi yang sama.

Kesimpulan:

Hipotesis:

1. H₀: μ₁ = μ₂
2. H₁: μ₁ ≠ μ₂

Metode Klasik

t_hitung = t_hitungung = T-Value = -2.724

t_kritis = t_tabel = t_(0.05,9) = 2.056 (diperoleh dari nilai tabel t-student)

Karena |t_hitung| > |t_kritis| = 2.724 > 2.056 maka H0 ditolak!

Metode Modern:

Uji dengan metode modern menggunakan nilai p-value dalam menentukan signifikan atau tidaknya suatu uji statistik.

Apabila: P-Value < Taraf Nyata maka uji nyata atau H₀ ditolak

Apabila: P-Value > Taraf Nyata maka uji tidak nyata atau H₀ diterima

Karena nilai signifikasinya (p-value atau Sig. = 0.011) < 0.05, maka H₀ ditolak dan H_A diterima. Hal ini menyatakan bahwa terdapat perbedaan antara kelompok sapi yang diberi vitamin A dan kelompok kontrol.

Pada output Tabel di sertakan juga nilai selang kepercayaannya.

P(-84,72 < μ₁ - μ₂ < -11.85) = 95%,

Artinya: 95% kita yakin bahwa perbedaan rata-rata keduanya terletak pada kisaran antara -84,72 dan -11.85.