Uji-t Student 2 Populasi dengan Ragam Heterogen: Memahami dan Menggunakan dalam Analisis Data Statistika

Hipotesis

Uji Statistik

Apabila σ₁ ≠ σ₂ dan keduanya tidak diketahui nilainya, nilai tersebut didekati dengan nilai perkiraannya, yaitu simpangan rata-rata contohnya, s. Karena kedua populasi tersebut mempunyai ragam yang berbeda, maka standar deviasi contoh didekati dengan:

 $$s_{{\bar{y}}_1-{\bar{y}}_2}=\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}$$

dengan 

 $$ db=\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\left(\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}\right)}$$

Nilai db dibulatkan ke angka terdekat.

Nilai t_hitung ditentukan dengan formula berikut:

$$t=\frac{{\bar{y}}_1-{\bar{y}}_2}{SE_{{\bar{y}}_1-{\bar{y}}_2}}$$ $$t=\frac{{\bar{y}}_1-{\bar{y}}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$$

Contoh 1:

Terdapat dua kelompok jenis lahan, yaitu lahan subur dan lahan tandus, dari setiap lahan tersebut diambil sample sebanyak 7 buah untuk ukuran kerikil halusnya. Ujilah pada taraf 5% apakah kandungan kerikil halus pada lahan subur berbeda dengan lahan tandus? Data kerikil halus dan kasar disajikan pada Tabel berikut:

Tabel. Kerikil halus dalam tanah permukaan (Torrie, 1980)

Perhitungan Manual (Metode Klasik/Tradisional)

1. Langkah ke-1: Klaim: dugaan perbedaan rata-rata antara kedua lahan tersebut dapat dilambangkan dengan: μ₁ ≠ μ₂, jika dugaan salah, maka μ₁ = μ₂
2. Langkah ke-2: Dari kedua persamaan di atas, μ₁ = μ₂ mengandung unsur persamaan (equality), sehingga menjadi hipotesis Hipotesis nol dan tandingan (H₁) μ₁ ≠ μ₂.
3. H₀: μ₁ = μ₂
4. H₁: μ₁ ≠ μ₂
5. Taraf nyata: α = 0.05
6. Tentukan uji statistiknya: sampel diambil secara acak; n < 30; berdistribusi normal (Uji Kolmogorov-Smirnov/Shapiro-Wilk) dan σ₁ ≠ σ₂ (Uji Levene). Dari kondisi tersebut, uji statistik yang relevan adalah uji-t independent dengan ragam berbeda.
7. Hitung nilai t_hitung dan tentukan t_kritis:
8. Perhitungan nilai t_hitung

 $$s_{{\bar{y}}_1-{\bar{y}}_2}=\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}$$

 $$\begin{matrix}s_{{\bar{y}}_1-{\bar{y}}_2}=\sqrt{\frac{(6.33441)^2}{7}+\frac{(2.63619)^2}{7}}\\=2.59324\\\end{matrix}$$

dengan:

 $$ df=\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\left(\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}\right)}$$

 $$=\frac{\left(\frac{(6.33441)^2}{7}+\frac{(2.63619)^2}{7}\right)^2}{\frac{\left(\frac{(6.33441)^2}{7}\right)^2}{7-1}+\frac{\left(\frac{(2.63619)^2}{7}\right)^2}{7-1}} \\=8.018 \approx 8$$

 $$ t=\frac{{\bar{y}}_1-{\bar{y}}_2}{s_{{\bar{y}}_1-{\bar{y}}_2}}=\frac{10.9143-3.9429}{2.59324}=2.688297$$

1. Tentukan t_kritis dengan db = 8 dan α = 0.05. Dari tabel t-student diperoleh nilai t_kritis untuk uji dua arah = 2.305
2. Karena |t_hitung| > t_kritis = |2.688| > 2.305, maka H₀ ditolak!
3. Dari hasil uji-t diperoleh kesimpulan bahwa pada taraf nyata 5%, rata-rata kandungan kerikil halus pada lahan subur dan lahan tandus berbeda.

Perhitungan dengan menggunakan SmartstatXL Excel Add-In

Hasil Analisis

Perhitungan dengan menggunakan software SPSS v.16:

Uji Normalitas

Uji normalitas (Kolmogorov-Smirnov^a/ Shapiro-Wilk) untuk kedua kelompok tidak nyata. Hal ini menunjukkan bahwa kedua sampel tersebut berdistribsi normal.

Uji kehomogenan ragam:

Hasil Uji Levene menunjukkan bahwa kedua populasi tersebut mempunyai ragam yang berbeda (p = 0.001 < 0.05), sehingga uji t yang digunakan adalah uji-t dengan asumsi ragam berbeda (Equal variance not assumed). Hal ini menunjukkan bahwa kedua sample berasal dari populasi yang berbeda.

Kesimpulan:

Hipotesis:

1. H₀: μ₁ = μ₂
2. H₁: μ₁ ≠ μ₂

Metode Klasik

t_hitung = t_hitungung = T-Value = 2.688

t_kritis = t_tabel = t_(0.05,9) = 2.305 (diperoleh dari nilai tabel t-student)

Karena |t_hitung| > |t_kritis| = 2.688 > 2.305 maka H0 ditolak!

Metode Modern:

Uji dengan metode modern menggunakan nilai p-value dalam menentukan signifikan atau tidaknya suatu uji statistik.

Apabila: P-Value < Taraf Nyata maka uji nyata atau H₀ ditolak

Apabila: P-Value > Taraf Nyata maka uji tidak nyata atau H₀ diterima

Kesimpulan: 

Lihat output hasil analisis dengan menggunakan software SmartstatXL dan SPSS di atas! 

Karena nilai signifikasinya (p-value atau Sig. = 0.028) < 0.05, maka H₀ ditolak dan H_A diterima. Hal ini menunjukkan bahwa pada taraf nyata 5%, rata-rata kandungan kerikil halus pada lahan subur dan lahan tandus berbeda.

Pada output Tabel di sertakan juga nilai selang kepercayaannya.

P(0.99372 < μ₁ - μ₂ < 12.94914) = 95%

Yang berarti 95% kita percaya bahwa perbedaan diantara kedua rata-rata lahan tersebut berada pada kisaran antara 0.99372 dan 12.94914.